Приветствую, дорогой читатель)
Сегодня мы поговорим про такой большой блок математики, как тригонометрия. Она вызывает трепет и учащенное биение сердца у большинства выпускников, но после прочтения все встанет на своим места
Ну что ж, давайте начнем
Тригонометрия базируется на определении тригонометрических функций, таких как синус, косинус, тангенс и т.д. (их на самом деле очень много, но нам хватит этих трех). Это функции угла т.е. они зависят от угла и задаются с помощью единичной окружности. И уже тут возникает вопрос, а почему она единичная? Давай разбираться
Зададим окружность радиуса R и проведем радиус данной окружности в точку М, которая будет иметь координаты (х; у). Далее отмети координаты, проведя перпендикуляры до осей ОХ и ОУ соответственно. Таким образом у нас сформируется прямоугольный треугольник с катетами Х по оси ОХ и У по оси ОУ и гипотенузой R, которая расположена под углом α к оси ОХ
Теперь мы имеем все необходимое, для введения тригонометрических функций через наш прямоугольный треугольник:
Тангенс
Но что же делать с тангенсом? Тут дела обстоят немного интересней. Тангенс является отношением синуса к косинусу, но зачастую представлен в виде отношения противолежащего катета к прилежащему. Давайте разберемся откуда это и почему данной выкладкой можно пользоваться
Мы разобрали основные моменты задания функций. Давайте теперь перейдем к более интересным вещам и докажем основное тригонометрическое тождество. Для этого выразим Х и У через косинус и синус и воспользуемся теоремой Пифагора для нашего прямоугольного треугольника. Возведя все в квадрат и вынеся радиус мы сможем его сократить и получить наше заветное тождество
Таким образом мы с вами доказали основное тождество, которое связывает синус и косинус и позволяет найти недостающую функцию, зная первую. Но помимо этого мы можем получить из этого равенства выражение для тангенса. Давайте посмотрим как производить данные выражения
Использование тождества
Допустим мы знаем синус, тогда для нахождения косинуса мы должны:
Если мы знаем косинус, то действия аналогичные:
Но это не все чудесные свойства тождество. Если мы поделим его правую и левую часть на косинус в квадрате, то сможем выразить через него еще и тангенс:
Заключение
Таким образом мы разобрали откуда у нас пошли тригонометрические функции и что они обозначают, а так же познакомились с основными преобразованиями, связывающими данные функции
На этом мы будем прощаться и встретимся в следующей статье, в которой продолжим разбор тригонометрии и познакомимся с формулами и выведем каждую из них)
До скорой встречи
Иван