Сегодня решим одну из задачек под номером 23.
Стороны АС, АВ и ВС треугольника АВС равны 2√5, √13 и 2 соответственно. Точка К расположена вне треугольника АВС, причем отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно, что треугольник с вершинами К, А и С подобен исходному. Найдите косинус угла ∠АКС, если ∠КАС>90°
Посмотрим поэтапное решение и рассуждение.
Сделаем рисунок и запишем условие.
По свойству подобных треугольников получаем, что соответственные углы треугольников АВС и КАС равны. Теперь необходимо определить, какие углы будут соответственными.
Для удобства "разъединила" треугольники на рисунке.
1) Если угол КАС тупой, то в треугольнике АВС тоже один из углов тупой (т.к. в тупоугольном треугольнике только один угол может быть более 90°). Найдем этот угол. Вспоминаем, что в треугольнике "против бОльшей стороны лежит бОльший угол "
Одну пару соответственных углов нашли.
2) Предположим, что углы АСК и АСВ это вторая пара соответственных углов... но СТОП...эти углы не могут быть равны. Ведь по условию вершина К и вершина В не совпадают. А значит наше предположение не верно, вторая пара это углы АСВ и АКС.
3) Тогда косинус угла АКС (то, что ищем) равен косинусу угла АСВ. А косинус АСВ легко найти по теореме косинусов, т.к. по условию мы знаем все три стороны треугольника АВС.
Продолжение следует...