Чтобы это понять, придется начать с начальной школы. В крайнем случае можно с первой четверти пятого класса. В это время проходят арифметические операции и их свойства. И рассматривается вопрос, как изменится результат действия, при изменении входящих данных.
Например, как изменится сумма, если одно из слагаемых увеличить на...?
Минута на размышление.
Правильный ответ: увеличится на столько же.
Понимание этих процессов, помогает упрощать вычисления и развивает логическое мышление. Больше всего нас будет интересовать операция деления. Как изменится частное, если делимое увеличить(уменьшить) в n раз? Как изменится частное, если делитель увеличить (уменьшить) в n раз?
И самое интересно, что будет, если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же количество раз?
Ничего не изменилось. Поразительно, да? Хотя все логично, но немного обескураживает.
Если это уложилось, то дальше переходим к сокращению дробей и приведению к общему знаменателю. Основное свойство дроби, которое позволяет совершать эти операции основано на указанном свойстве деления. Мы увеличиваем или уменьшаем делимое и делитель в одинаковое количество раз.
После этого переходим к пропорциям. Это уже шестой класс.
Ведь пропорция и получается, когда мы умножаем или делим числитель и знаменатель дроби на одно и то же число. Здесь важно понять, что из чисел входящих в одну пропорцию можно составить еще две.
Меняем местами крайние или средние члены пропорции.
Дальше большой перерыв. Возвращаемся к этой теме уже в восьмом классе, в теме подобие треугольников. Если треугольники подобны, то сходственные стороны пропорциональны. То есть из длин сторон подобных треугольников можно составить пропорцию.
Вспомним, как одна пропорция порождала другие и применим этот прием для сторон подобных треугольников.
Получается, что отношение сторон одного треугольника, равно отношению сторон другого треугольника. При условии, что они подобны. И здесь самое время ввести понятие синуса и иже с ним.
Они определяются как отношение сторон прямоугольных треугольников. Рассмотрим два прямоугольных треугольника с равными углами.
Используя признаки подобия доказываем, что они подобны. Записываем отношение сходственных сторон, а также выражение для синуса углов А и А₁.
Составляем пропорцию из первой и третьей дроби и меняем местами крайние члены.
Таким образом мы доказали, что синусы равных углов равны. То есть значение синуса зависит только от величины угла. Аналогично можно доказать, что значение косинуса и тангенса также зависит только от угла. Хотя они и определяются через стороны. Но вся магия в делении.