Когда ученики спрашивают, что такое натуральные числа, я прошу их посчитать пальцы на руках. Один, два, три и так далее. Это и есть натуральные числа. Числа выражающие количество. Пять яблок, семь друзей, миллион долларов. Понятно, ведь?
Но я лукавлю. Попробуйте объяснить пятикласснику, что множество натуральных чисел это множество на котором задана единица и функция следования, обладающее рядом свойств. На втором предложении сложность этого объяснения заставит мозг переключиться на что-то другое.
Но, когда ребенок немного подрастет, можно немного расшатать его привычные представления. Чтобы у него не было ощущения, что в мире всё однозначно.
В 1889 году Джузеппе Пеано сформулировал аксиомы Пеано. (Интересно, он сам их назвал своим именем?) Любое множество чисел удовлетворяющее данным утверждениям может считаться натуральными числами.
Итак, первое. В множестве натуральных чисел есть быть выделенный элемент (единица).
Второе. Число следующее за натуральным является натуральным.
Третье. Единица не следует ни за каким натуральным числом.
Четвертое. Если натуральное число следует за двумя другими, то они равны.
И последнее. Если некое утверждение верно для единицы, и из того, что оно верно для некоторого натурального числа следует, что оно верно для следующего за ним, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Аксиоматический подход помогает разъяснить многие разногласия. Например, является ли 0 натуральным числом? Согласна этой системе аксиом, ничего ему не мешает быть таковым. Просто в ряду 0, 1, 2, … ноль и будет требуемой единицей.
Но это не единственный вариант натуральных чисел. Например, можно использовать следующие:
Это множество чисел удовлетворяет всем заданным аксиомам. Так что можно считать яблоки в этих числах.