Будем искать расстояние от точки до плоскости
Постараюсь быть краток и полезен
Для начла нам необходимо нарисовать фигуру , на которой основывается задача , возьмём для примера куб и будем искать расстояние от точки до плоскости!
Допустим нас попросили найти расстояние от точки Р до плоскости
CC1DD1 в кубе АВCDA1B1C1D1:
Теперь самое интересное ! Метод координат !
Для начала возьмём координаты точки Р и заметим , что она находится ровно по середине АА1:
x y z
Р( 0 ; 1,5 : 3) - координаты точки Р по всем трём осям . Записали , отложили , позже вернёмся.
А что делать с плоскостью то ?!
Вопрос интересный.
Запомните, ребята , чтобы как-то взаимодействовать с плоскостью в пространстве - необходимо составить уравнение плоскости и с помощью этого узнать координаты (где лежит) наша плоскость
Вау класс ! А как нам составить то, что ты втираешь ?
А просто
Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 называют уравнением плоскости
Что за А, B, C и D?! Сейчас расскажу 🥺
Запомни для начала самое важное
D может быть равно только 0 и 1
D = 0 , когда наша плоскость проходит через начало координат
D = 1 , когда наша плоскость НЕ проходит через начало координат (наш случай)
Дальше
А В С - это коэффициенты уравнения , которые легко можно найти , и сделать это очень просто . Нужно знать всего три точки плоскости , не обязательно использовать все четыре CC1DD1
Можно взять любые
Я возьму СС1D
Перед составлением уравнения плоскости - выпишем координаты тех точек , которые я выбрал
C (3; 0 ; 0)
C1 (3; 3; 0)
D (3; 0 ; 3)
и построчно к каждой точке составляем систему :
{3A+0B+0C+D = 0
{3A+3B+0C+D = 0
{3A+0B+3C+D = 0
Следуя , что D = 1, тк плоскость не проходит через начало координат , и , что присутствует умножение на 0 , получаем :
{3A + 1 = 0
{3A + 3B + 1 = 0
{3A + 3C + 1 = 0
Решив систему получаем :
{A = -1/3
{B = 0
{C = 0
Все, мы молодцы , нашли коэффициенты , давайте подставлять под этот «скелет» :
Ax + By + Cz + D = 0
-1/3x + 0y + 0z + 1 = 0
-1/3x + 1 = 0
🤩 , уравнение плоскости готово ,
значит и готовы координаты плоскости
(-1/3; 0; 0)
Все , последний шаг !!!
Подставляем, все полученные значения в нашу формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости :
мы уже все знаем
A = -1/3
B = 0
C = 0
D = 1
Xo, Yo, Zo это наши координаты точки Р , которые мы нашли в самом начале ⬆️
Xo = 0
Yo = 1,5
Zo = 3
Все , не буду надоедать , подставляем :
d = | -1/3*0 + 0*1,5 + 0*3 + 1|/ v((-1/3)^2 + 0^2+0^2 = 1/ v(1/9) = 1/ 1/3 = 3
Задача решена , Ответ : 3
*Многие спросят , зачем я это решал таким образом , хотя там визуально видно , что 3 и все это зря и тупо
Да, согласен , но в ЕГЭ задачи такие, что не видно визуально и в «тупо в уме» не решишь. Я специально придумал такую задачку , чтобы вы быстро и легко сообразили . Всем успехов 😘