Будущий актёр родился 8 июля 1938 года в Ленинграде, в семье далёкой от творчества. Отец Василий Дмитриевич, кандидат технических наук, заместитель директора Ленинградского полиграфического техникума, и доцент в Технологическом Институте. Мать Зинаида Александровна инженер-механик.
В школьные годы Андрей увлекался точными науками, что определило выбор первой профессии. Однако участие в школьном драматическом кружке позволило ему познакомиться с этой, не менее интересной стороной жизни, попробовать себя в амплуа актёра.
После окончания школы Андрей поступает в Ленинградский химико-технологический институт. Успешно оканчивает его в 1961 году. Вот только карьера в этой сфере не слишком интересна Андрею.
Поэтому после успешного прохождения 3-х отборочных туров выездной комиссии театрального училища имени Немировича-Данченко, Андрей с удовольствием соглашается пройти обучение на актёрском факультете.
По одной из версий на любительский спектакль «Лесная песня», в котором играл Андрей, случайно пришёл преподаватель школы-студии МХАТ, который и заметил талант юноши.
В 1965 году Мягков заканчивает школу-МХАТ, курс Василия Петровича Маркова и устраивается на службу в театр Современник. Одной из первых его ролей был дядюшка, в спектакле по Фёдору Михайловичу Достоевскому.
Среди зрителей был Элем Климов, искавший актёров для фильма «Похождения зубного врача». Игра Мягкова настолько впечатлила режиссёра, что тот не задумываясь предложенному ему главную роль, зубного врача, Сергея Чеснокова. Так состоялся дебют в кино.
Вот только фильм запретили за пародию на Советскую действительность. Кинолента была допущена к прокату только через 20 лет. Тем не менее старт в карьере был дан.
Первые роли в кино не приносили Андрею славы, хотя роль Андрея Карамазова привлекала внимание к нему, как к актёру. А вот карьера в театре складывались успешнее.
Драматические роли прекрасно удавались Андрею, что сейчас сложно представить с учётом популярности и головокружительного успеха роли Жени Лукашина в фильме «Ирония судьбы или С лёгким паром», вышедшая на телеэкраны вечером 1января 1976 года.
В этот день фильм посмотрели около 100 миллионов зрителей Советского Союза. Поэтому Андрей буквально за один вечер стал настоящей звездой Советского экрана.
За эту роль Мягков получил почётное звание заслуженного артиста РСФСР и Государственную премию СССР. Так как фильм понравился Леониду Ильичу Брежневу, который не заметил пропаганды пьянства, за что переживали все создатели фильма.
Кстати, как признавался сам Андрей Мягков, что довольно прохладно относится к спиртному и терпеть не может баню. Мягкову так понравилась работа с Эльдаром Рязановым, что сотрудничество было продолжено.
В 1977 году снимается кинофильм «Служебный роман». Роль Анатолия Новосельцева принесла не меньший успех, чем роль Жени Лукашина. В 1978 году лента стала лидером проката в СССР. Её посмотрели более 58 миллионов человек.
Личная жизнь Андрея Мягкова это пример успешного брака. Андрей увидел Анастасию Вознесенскую будучи студентом театра МХАТ. Ему было 23 года, ей 17. С тех пор пара прожила более 50 лет, практически не расставаясь.
Они вместе работали в Современнике, потом оба перешли во МХАТ, в кино Мягков часто требовал от режиссёров снять хотя бы один кадр с участием супруги. Вот только знаменитой, под стать мужу, Анастасия так и не стала. Неудачи в карьере буквально преследовали её.
Детей у супругов не было, поскольку оба изначально выбрали карьеру.
Как говорят: «Талантливый человек, талантлив во всём». Мягков также писал детективы. Он их писал для развлечения любимой. Причём книга «Сивый мерин» была экранизирована.
Также он увлекался живописью, писал портреты. Последние годы супруги уединённо жили в загородном доме и практически не появлялись на людях, отказываясь от интервью и участия в светских тусовках.
Андрей Мягков скончался 18 февраля 2021года от острой сердечной недостаточности. Был похоронен на Троекуровском кладбище, рядом с могилой друга Валентина Гафта.