Представьте себе муравья, ползущего по резиновой веревке длиной 1 километр со скоростью один сантиметр в секунду. Также представьте, что веревка каждую секунду растягивается на 1 километр. Дойдёт ли когда-нибудь муравей до конца веревки?
Разумеется, нет, — скажет большинство. Если за одну секунду муравей проходит всего 1 см, а длина веревки увеличивается на километр, это просто невозможно. Однако математика говорит нам об обратном — муравей дойдет до конца.
Для большей наглядности давайте поместим муравья на середину веревки. И пусть он стоит на месте и никуда не ползет. После того, как веревка через секунду растянулась на километр, муравей так и останется в середине веревки. И ещё через секунду тоже. Ведь веревка растягивается в обе стороны, а не только в сторону финиша. Если теперь запустить муравья, окажется, что он уже преодолел середину и медленно (катастрофически медленно, если быть точным), но верно, движется к финишу.
На самом деле задача довольно сложная и не по зубам школьникам, потому что мы имеем дело с рядом. Но давайте все же вникнем в суть без углубления в доказательство.
Итак, изначальная длина веревки 1 км = 1000 м = 100 000 см.
За первую секунду муравей проползает 1 см, то есть 1/100 000 часть веревки. За вторую секунду, так как веревка растянулась на километр, он проползет уже 1/200 000 часть веревки и так далее.
Складываем и получаем 1/100 000 + 1/200 000 + 1/300 000 + ... = 1/100 000• (1+1/2+1/3+1/4+...)
Внимательный читатель обратит внимание на то, что в скобках у нас получился бесконечный расходящийся ряд. Его сумма постоянно растет до бесконечности, а значит, рано или поздно муравей таки доползет до конца веревки.
Вот только растет этот ряд очень медленно, сумма первых ста членов ряда едва-едва переваливает за 5.
То есть, сказав, что муравей доползет до конца веревки, надо сделать небольшую оговорку — муравей должен быть бессмертным. Как и наша Вселенная, которая, вообще говоря, умрет быстрее, чем муравей достигнет финиша. Ну и для тех, кому понравилось, задам другой вопрос: попробуйте оценить время, за которое муравей доползет до финиша.
Как вам задача? Мир перестал быть прежним? Вы всё ещё уверены, что у вас хорошая логика и ей можно доверять? А вот ещё несколько любопытных парадоксов, законов и экспериментов: