Смотрите на эту страшнейшую систему уравнений, которую так боятся все школьники. Тут вам и логарифмы, и корни, и квадраты — всё самое страшное, что только может быть.
Если кто-то вдруг в глухой деревне, как был я на прошлой неделе, и у него не хватает интернета на загрузку фотографий, то система состоит из двух уравнений: X² + lgX = y² + lgY и √(X-Y) + √X + √Y = 4.
Как решать? С какой стороны подступиться? Бог его знает. Многие даже не пытаются решить, желая сэкономить время для какой-нибудь другой задачи на экзамене.
Но на самом деле в системе нет ничего сложного, она решается гораздо проще, чем кажется большинству. Только не надо бросаться в бой и сразу пытаться избавиться от иррациональности во втором уравнении. Никто не будет давать такую сложную в плане вычислений задачу на ЕГЭ. Ведь суть математики не в вычислениях.
Решение
Так как в первом уравнении мы имеем два десятичных логарифма, значит, Х и Y могут быть строго положительными. Иначе никак. То есть X>0 и Y>0.
Теперь смотрим на второе уравнение и видим там сплошные корни, которые в сумме дают положительное число. Значит, и тут X и Y строго больше нуля, но внимание стоит обратить на самый первый корень — √(Х-Y). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть X⩾Y.
Но X не может быть больше Y, потому что тогда не будет выполняться первое уравнение. Стало быть, единственный вариант — Х=Y.
Подставляем это во второе уравнение и получаем: 2√Х = 4, откуда Х=4, а значит, ответ: Х=4 и Y=4.
Как видите, в задаче нет ничего, кроме устных рассуждений о допустимости тех или иных значений. По факту, записав ОДЗ (область допустимых значений), мы почти пришли к ответу.
Из этого можно сделать сразу два вывода. 1. Не так страшен чёрт, как его малюют. 2. На ЕГЭ и тем более ОГЭ сложных заданий нет. Ни у кого нет цели завалить ребенка на экзамене сложными вычислениями, поэтому, если вы идете по пути, на котором приходится делать много вычислений, скорее всего, есть альтернативный путь, более легкий.
А вот ещё несколько на первый взгляд сложных задач, которые на самом деле очень легко решаются: