Перечитывал "Математическую смесь" Литлвуда и хотел бы обсудить приведенную им задачку. Имеются таблички, на которых с двух сторон написаны последовательные натуральные числа: 1 и 2, 2 и 3, и так далее. Два игрока видят каждый свою сторону, каждый может спасовать или не пасовать ("вистовать"). Если оба вистуют, выигрывает тот, у кого число больше.
Литлвуд утверждает, что в такой игре один игрок будет пасовать, и доказывает по индукции. В самом деле, если видишь число 1, пасуешь, так как уверен, что партнер видит 2. Если видишь два и партнер не пасует, то у него не 1, значит, 3. И потому пасуешь. И так далее. Впрочем, Литлвуд замечает, что "серьезной критики этот пример не выдержит".
Вот и обсудим.
На самом деле, всё зависит от правил игры. К примеру, сколько надо ждать паса противника? Если нет ограничений, то можно же спокойно ждать до бесконечности. А если есть предел, то стоит тянуть до последнего.
Еще важен выигрыш. Если проигравшего расстреляют, то, пожалуй, рассуждение верно, да и то, блеф возможен. Если ты уверен, что я спасую с единицей, а я не спасую, то спасуешь ты.
Рассуждение Литлвуда безусловно верно в контексте не игры, а задачи. Если эти двое не одолевают друг друга, а должны выяснить, у кого число больше, ничего не говоря друг другу. Тогда действительно: если я вижу 1, я кричу, что у меня минимум. Если я вижу 2 и партнер не кричит, то опять-таки кричу я. Вроде как никакой информации не передается, а я знаю его число. Таких задачек есть множество. Кое-какие мы обсуждали.
Давайте уточним правила и рассмотрим две игры. В обоих случаях решение принимается одновременно: например, записывается на бумажку. Каждый может пасовать или вистовать. Если оба вистуют, выигрывает тот, у кого число больше. Если оба пасуют, то ничья. А вот если один вистует, а другой пасует, то тут развилка в правилах. В одной игре при этом выигрывает вистующий, в другом опять-таки ничья. Разыгрывается один рубль.
Есть такое понятие "смешанные стратегии". Это когда выбор принципиально случаен, потому что противник не должен знать твоего решения. Такова игра с прятанием монеты, которую мы обсуждали.
Но в данном случае смешанные стратегии оказываются не нужны, игра решается в чистых. Причем тривиальных: "всегда пас" и "всегда вист". И это, на мой взгляд, любопытно.
Итак, рассмотрим сначала второй вариант: пас означает отказ от игры. У игрока с единичкой выбор небогат: если он пасует, он ничего не теряет и не приобретает, а если вистует, то либо тоже нуль, либо проиграет. Доминирует стратегия "пас", так как она как минимум не хуже. Игрок с двойкой опять-таки может безопасно спасовать. А если вистует, то либо имеет нуль, либо проиграет рубль противнику с тройкой (если тот решить вистовать). И так далее. Имея n, ты можешь спасовать и иметь гарантированно нуль, либо вистовать: тогда либо имеешь тот же нуль, либо проигрываешь. В итоге, все пасуют и не играют.
Теперь первый вариант, когда пас означает "сдаюсь". Начнем с n>1. Если ты пасуешь, то либо при своих (если противник пасует), либо в минусе (если нет). Если вистуешь, то либо в плюсе (если противник пасует), либо зависит от его числа (если он вистует; но хуже, чем минус один, не будет). В итоге, вистовать выгоднее: если противник пасует, то +1 против 0, а если вистует, то в худшем случае -1 против -1, а в лучшем и +1 против -1.
Итак, все, кроме n=1, вистуют. От его мнения ничего не зависит. Ведь двойка будет висовать, и он так и так проиграет. Но он будет вистовать, надеясь на ошибку противника.
В итоге, все будут вистовать.
Вот так маленькая поправка в правилах кардинально меняет стратегию.
Удачи, коллеги.