Очень часто встречаю уверенных в себе людей, которые режут металл, варят его, с уверенностью в прочности конечной конструкции. Завидую, по белому завидую. Я без расчетов не могу. И поскольку расчеты приводят, зачастую, к более легкой и дешевой конструкции, то пользуюсь я этим не редко.
Часто можно услышать шутку: «Сдал сопромат — можешь жениться». Для меня смысл ее в том, что овладев этим базовым предметом, уже можно прокормить семью.
Сопромат — арифметика проектирования, он не сложен, но основа всех основ, без которых невозможно дальнейшее изучение инженерно-механических наук.
Чем меряем жесткость
Помните архимедовское: «дайте мне точку опоры и я переверну мир»? Точку опоры в сопромате нам дали еще в школе. Помните знаменитое Гука:
Сила противодействия упругого вещества линейному растяжению или сжатию прямо пропорциональна относительному увеличению или сокращению длины.
В формульном виде это выглядит таким образом:
где F — сила, сжимающая или растягивающая; k — коэффициент упругости (жёсткость); Δx — на сколько линейно растянулось тело или сжалось.
На этом принципе устроен любой пружинный динамометр, только там деформация идет за счет скручивания витков.
Позвольте, но при чем тут пружина и сплошное тело? Как мы можем это приложить к расчету стержня? Дело в том, что мы подошли еще к одному ограничению сопромата. Пружина растягивается за счет того, что происходит кручение проволоки. Только маненько-маненько. А за счет большого числа витков эти малые деформации преобразуются в заметное движение крюка. Вот эти малые деформации, при которых работает закон Гука (соблюдается пропорциональность), и изучает сопромат. К примеру, для Д16Т эти деформации составляют 5 мм для метрового стержня.
Но как применить это уравнение на практике? А давайте займёмся любимым занятием инженеров — деление обеих частей уравнения на одну и ту же величину. В нашем базовом уравнении все привязано к конкретному телу, к стержню. Как мы на практике сравниваем стержни? Длиной и сечением в плоскости, перпендикулярной нашей длине.
У сечения есть размерная характеристика — площадь S. Вот давайте на эту площадь и разделим наши части.
Так мы и подошли к еще к одному базовому понятию сопромата — нормальному напряжению:
которое измеряется в той же величине, что и давление — в паскалях (Па) и читается как «сигма».
Нормальное напряжение уже оторвано и от силы и от площади сечения и позволяет нам оценить нагрузки отстранено. Как уже понятно из самого определения, нормальное напряжение создаётся силой, нормальной (перпендикулярной) к сечению. Когда возникают только нормальные напряжения? При сжатии и растяжении. Когда мы гнем или закручиваем, то на сечении действуют силы в разных плоскостях. Но об этом позже.
И так, левая часть у нас уже «сопроматовская». А что делать с правой, ведь тел много, у каждого своя жесткость k, которая зависит как от длины, так от площади сечения.. Не намеряешься, так сказать. Что нам делать с нашей формулой? А давайте правую часть умножим на длину и разделим на неё же — что нам мешает, ведь от умножения на L ничего не изменится?
Что для нас (Δx/l)? Да это относительное удлинение, которое в сопромате обозначается ε, читается как «эпсилон» и является безразмерной величиной:
Но что тогда делать с абракадаброй (k*l/S) ? Да дело в том, что еще в 19 веке Т. Юнг назвал это модулем упругости и доказал, что он постоянен для одного и того же упругого вещества не зависимо от размеров. Правда сделал он это довольно туманно, но сделал. В честь него модуль упругости именуют «модулем Юнга» и обозначают латинской «Е». Модуль упругости измеряется также в паскалях:
Зависит ли модуль Юнга от содержания примесей в железе? Практически нет - у всех сталей модуль Юнга равен примерно 210 ГПа (гигапаскалей). У алюминиевых сплавов он от 68 до 73 ГПа. Так что, когда речь идет об относительном удлинении - сталь 3 и 30хгса практически одинаковы. Надо отметить, что с ростом температуры модуль значительно падает: если у 20 стали при 20 градусах 212 ГПа, то при 700 — только 140.
Давайте рассмотрим модули упругости при 20 градусах Цельсия.
Табл.1
Стоит также отметить, что закалка и прочая термическая обработка не приводит к изменению модуля упругости.
В чем физический смысл модуля упругости? Чем он выше, тем более жесткое тело мы имеем при всех остальных равных параметрах, тем меньше оно поддается под нагрузкой. И вот мы пришли к важной сопроматовской формуле:
Мы теперь знаем, что возникающие напряжения в наших деталях пропорциональны относительному удлинению и модулю упругости. И знаем, что независимо от размеров исходной детали мы можем привести расчёт к известным величинам. Почему известным? Да потому что ни один материал не выпустят в свет, не измерив его модуль упругости и доступные для него напряжения.
И что нам с этой упругостью делать? Мы уже можем сравнивать и выбирать материалы. Давайте попробуем. Возьмём несколько распространённых материалов:
Табл.2
И чего? А получается то, что конструкции при равном весе будут одинаково жесткими, что из стали, что из титана, что из алюминия, что из дерева. Что самая легкая и жесткая конструкция получится из углепластика, но сильно ударит по кошельку. А титан совсем неинтересен. Зато за одни и те же деньги мы можем сделать из дерева в два раза более жесткую конструкцию, чем из стали и в 4 раза - чем из алюминия.
Забавно? Сейчас я попробую еще удивить.
Вернемся к нашим истокам — уравнению Гука. Мы уже знаем, что силы, возникающие в стержне, зависят от его жесткости и деформации. Сейчас очень модны нанотехнологии — попробуем? Давайте разобьём наш стержень на кучу маленьких стерженьков. Вот как показано на рис.3. Конечно, разбивать до нанометров смысла нет, но как же без упоминания новомодного течения?
Каждый i-тый «стерженек» будет в точности соответствовать уравнению Гука:
Мудрые мужи доказали, что при любых видах нагрузки, мы можем привести любое тело к простому случаю растяжения-сжатия. И рассчитывая каждый «стерженек», можем полностью узнать напряжения, действующие в стержне в целом. Как?
Относительное удлинение мы знаем как найти. А жесткость мы можем найти, зная модуль упругости и размеры нашего «стерженька» (смотрим выше на уравнение (6)):
Вот и весь современный сопромат. Не верите? Сейчас я на пальцах объяснил метод конечных элементов (МКЭ или FEA), используемый во многих современных системах инженерных расчетов (CAE). Как результат, многие уверовали в то, что знание «дедовского» сопромата легко заменяются новомодными пакетами. Так ли это? А может ли инструмент создать что либо без творца? Отвечать вам.
Опубликовано с разрешения автора Кузнецова Олега Михайловича
