Восстановление вычислительных навыков мы начали с самых азов.
Однако, надо признать, что пока ситуация со школьным образованием не совсем плачевная и большинство учеников в 8-9 классах всё-таки умеют складывать в уме двузначные числа и знают таблицу умножения. И хотя налицо негативная тенденция и школьников, не владеющих этими навыками, становится с каждым годом больше и больше, всё же в целом школа пока справляется с этой своей задачей.
Однако, это не значит, что те же самые школьники умеют уверенно считать хотя бы в пределах сотни.
Например, умение устно умножать и делить двузначные числа уже перешло в массовой школе в разряд необязательных и даже продвинутых навыков. Поэтому чаще всего именно с так называемого «внетабличного» умножения приходится стартовать при проблемах с вычислительными навыками.
Итак, внетабличное умножение.
Для того, чтобы понять, что школьник плохо им владеет, достаточно попросить устно перемножить 12 на 8 и уточнить, как именно он умножал. Если начинает с единиц и представляет в голове столбик, то скорее всего его нужно будет заново переучивать умножать. Иначе такому ученику очень сложно будет делить, например, 84 на 7. А деление 72 на 18 и вовсе останется для него недоступным, как и более сложные примеры вроде сокращения дроби 34/51.
Кстати, последнюю дробь можно использовать в качестве быстрой диагностики внетабличного умножения и деления; если ученик без проблем сокращает, то скорее всего в этой части его навык устного счёта вполне развит.
Прежде, чем учиться внетабличному умножению и делению, само собой нужно уметь складывать/вычитать числа в пределах сотни, а также знать таблицу умножения. Об этом мы подробно говорили в предыдущих статьях.
Первый разминочный шаг – простое умножение и деление круглых десятков. То есть задания вроде 20 ⋅ 3 и 80 : 4. Здесь обычно трудностей не возникает.
Однако, важно, чтобы эти круглые десятки мыслились именно как десятки, а не просто как запись цифры и рядом нолика. Можно даже на этом этапе для большей наглядности поработать с физическими объектами вроде пучков палочек-единиц, собранных в десятки.
Дальше умножение двузначных чисел на однозначное число. Главное правило: сначала десятки, потом единицы.
То есть чтобы посчитать 13 ⋅ 7, мы должны сначала умножить 10 на 7, потом 3 на 7, а потом результаты сложить. Последовательность именно такая.
Первые несколько примеров (вроде 12 ⋅ 4 или 23 ⋅ 3) можно сделать без перехода через десяток, но всё равно акцентируя внимание на том, что сначала мы умножаем десятки. Даже если для таких простых примеров порядок действий пока не так критичен.
Особенно обращаем внимание на популярные в дальнейшем случаи умножения, такие как 12 ⋅ 2, 12 ⋅ 3, 12 ⋅ 4, 12 ⋅ 5, 12 ⋅ 6, 15 ⋅ 2, 15 ⋅ 3, 15 ⋅ 4, 15 ⋅ 5, 15 ⋅ 6, 16 ⋅ 2, 16 ⋅ 3, 16 ⋅ 4, 16 ⋅ 5, 18 ⋅ 2, 18 ⋅ 5, 25 ⋅ 2, 25 ⋅ 3, 25 ⋅ 4, 35 ⋅ 2, 36 ⋅ 2, 45 ⋅ 2, 48 ⋅ 2. Умножение на 11 само собой не должно вызывать трудностей.
Эти примеры с определенного момента нужно не просто считать, а просто знать результат (как с таблицей умножения)
Дальше идёт внетабличное деление.
Начинаем с простых примеров и по возможности иллюстрируем их действиями с пучками-десятками.
Например, делим 48 на 4. Сначала делим 40 на 4, потом 8 на 4, а потом результаты складываем. Важно не только указать, что сначала мы делим десятки, но и понять, что в этих примерах нам без проблем удалось ровно разделить эти самые десятки.
Потому что дальше мы будем рассматривать случаи, когда десятки не делятся.
Например, пробуем разделить 70 на 2. Если в живую взять семь пучков-десятков и попробовать разделить их поровну на двоих, то возникнут трудности. Шесть десятков легко разделятся (по три десятка), но останется еще один не разделенный. Тогда мы его распускаем до единиц и уже десять единиц легко делим на двоих (каждому по пять). В итоге после деления получится число 35.
То есть мы сначала ищем какое количество десятков удаётся разделить, а потом делим оставшиеся единицы.
Удобно дальше рассмотреть задания вроде 60 : 4, 90 : 6 или 80 : 5, чтобы точнее понять последовательность действий. Здесь особенно интересует подбор нужного удобного количества десятков.
После этого уже можно приступать к более сложному делению на однозначное число. То есть когда делимое не является круглым числом, а содержит ещё и единицы.
Например, 72 : 6. Мы снова начинаем деление с десятков. Сначала пробуем разделись семь десятков, но убеждаемся, что ровно получится разделить только шесть десятков. После этого остаётся 12 единиц, которые легко делятся на 6.
То есть, решение будет таким 72 : 6 = (60 + 12 ) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 = 10 + 2 = 12.
Здесь я для наглядности делаю запись в строку, но в реальности на начальном этапе мы с учеником аккуратно выписываем действия по порядку.
К слову сказать, обычно самая большая трудность заключается именно в том, чтобы подобрать изначально правильное количество десятков. Особенно тяжело это даётся тем ученикам, которые в своё время не пособирали палочки в пучки и в следствие этого не мыслят двузначное число как набор определенного количества десятков и единиц.
Ну а дальше идёт деление двузначного числа на двузначное.
Сначала решаем примеры вроде 80 : 20 или 90 : 30.
К сожалению, старшеклассники просто в этих заданиях зачёркивают лишние нули. Для таких примеров это не критично. Но всё же важно, чтобы школьники понимали деление ещё и как подбор подходящего множителя.
Например, при делении 72 на 12 мы на самом деле ничего не делим. Мы просто в голове подбираем такое число, которое при умножении на 12 даёт 72.
И вот тут начинает в полную силу работать правило «сначала десятки, потом единицы». Ведь мы должны быстро прикинуть адекватное число десятков. А если ученик при таком подборе начинает умножать с единиц, то он тратит на это очень много времени. Если вообще, конечно, досчитывает до правильного результата.
Во всех этих случаях важно на начальном этапе делать записи действий и лишь потом переходить от письма к устному счёту. Часть учеников, совершают очень коварную ошибку. «Поняв» как нужно правильно считать примеры на внетабличное умножение, сразу стараются перейти к устным вычислениям.
Но нужно пройти обязательный этап записей и лишь потом двигаться дальше.
После того как этап с записями будет пройден, дальше нужно будет проговаривать свои вычисления вслух и лишь потом про себя. Это позволит закрепить правильную схему действий.
На этом алгоритмический этап работы с первичной постановкой навыков заканчивается. Здесь мы просто изучили (или вспомнили) как правильно нужно действовать при решении этих примеров. Далее все подобные задания на устный счёт постепенно переносятся на пятиминутку устного счёта в начале занятия, усложняются и в конечном счёте становятся автоматическим навыком.
Усложнение происходит в двух направлениях.
Первое – это разложение на множители некоторых из примеров. То есть школьники должны без проблем суметь представить, например, число 48 не только как 6 ⋅ 8, но и как 12 ⋅ 4, 16 ⋅ 3 и 24 ⋅ 2. По сути, в этом пути нужно прийти к тому, чтобы дроби вроде 26/65 ученик сокращал без затруднений, подбирая в голове сразу удобное разложение на множители.
Второе направление – движение в сторону именно устных вычислений с тренировкой удерживания чисел в голове.
Дело вот в чём.
Школьник в принципе может научиться довольно быстро вычислять эти примеры, когда они у него перед глазами. Видя перед собой пример 12 ⋅ 7 = , он легко удерживает внимание на нём. Однако, нужно стремиться, чтобы в голове у школьника формировалось поле чисел от одного до ста с различными операциями между ними. Поле не в общепринятом научно-математическом смысле, как понятие из высшей математики, а как набор чисел, в пределах которых он может легко вычислять.
Для этого нужно не просто давать явные примеры, но и делать так, чтобы внетабличное умножение выполнялось с числами, которые напрямую не записаны.
Я имею в виду примеры вроде (27 + 18) : 5 или 48 : (22 - 6). И более сложные вроде (15 + 3) ⋅ (11 - 6) и т.д.
Это, кстати, касается и примеров на сложение и вычитание двузначных чисел из предыдущих статей. Недостаточно ограничиваться примерами вроде 25 + 36. Нужно ещё разбавлять их заданиями вроде 8 ⋅ 2 + 37.
Сами же задания можно взять из любого классического учебника начальной школы, который учит школьников считать, а не учит «мыслить в понятиях» или «учит учиться». Или же просто придумать их самому, если вы репетитор или родитель, который хочет помочь своем ребёнку.