В прошлой статье мы поговорили о том, как можно выучить таблицу умножения. Рассказали про тонкости её изучения и про практику использования приложения https://sunandstuff.com/multiply/.
Но обычно те, кто в старших классах имеет проблемы с таблицей умножения, уже неоднократно проделывали эти или подобные манипуляции.
Самая большая ошибка думать, что если вам удалось за 15 минут/полчаса/час/два часа/полдня/день выучить ТУ и получилось без запинки её рассказать (себе или учителю), то теперь-то вы её точно знаете. Это только первый шаг, хотя и очень важный.
В изучении таблицы умножения самое главное другое: её не забыть.
А с этим порой возникают трудности.
Дело в том, что умножение становится автоматическим навыком лишь после того, как вы долгое время продолжаете её использовать на практике.
Но представим себе ситуацию, что старшеклассник собрал волю в кулак и смог её выучить. И где он сможет её применить? В классе уже проходят какую-нибудь тригонометрию и производную. Там нет заданий, предполагающих умножение 7×8… Считается, что уж это-то точно все знают.
Поэтому не останавливаемся на достигнутом. Это только промежуточный этап, и нужно двигаться дальше.
Сначала рекомендую через некоторое время повторить все те упражнения, которые мы обсуждали в предыдущем посте. То есть нужно ещё раз пройти задания с указанного выше сайта (составители заботливо придумали кнопку обнуления результатов). Желательно это сделать через два дня после того, как вы выучили таблицу в первый раз. И потом повторить то же самое через неделю.
Но нужно понимать, что ТУ всего ли инструмент для выполнения каких-то других более сложных вычислений. Поэтому не стоит злоупотреблять различными специализированными приложения, даже если они очень приятны в работе. Вам всё равно в конечном итоге придётся выполнять вычисления на бумаге.
Все дальнейшие действия по закреплению таблицы умножения мы разделим на две части.
Первая часть упражнений изолированная. То есть задания придуманы специально для того, чтобы вы смогли повторить ТУ. Сами по себе в чистом виде они нигде потом не используются. Математическое и техническое содержание их не сильно велико, хотя эти упражнения довольно эффективны.
Вторая часть упражнений имеет более содержательный характер с точки зрения школьной программы. Это комплексные упражнения, которые периодически возникают в реальных заданиях.
Начнём с изолированных упражнений в порядке их усложнения.
Первое задание – заполнение пустой таблицы Пифагора. Но не совсем обычной.
Традиционная таблица Пифагора является квадратом 10 на 10 с подписанными сверху и слева цифрами от 1 до 10. Как мы уже говорили в прошлый раз, её можно заполнять по строкам (или по столбцам, кому как удобнее), но только лишь в качестве разминки перед реальным заучиванием примеров из ТУ.
Однако для закрепления такое упражнение не подходит, т.к. оно больше тренирует навык сложения, нежели непосредственно умножение. Нам же нужно именно умножение. А для этого нужно припоминать примеры вне их связи друг с другом.
Итак, мы немного видоизменим таблицу Пифагора. Цифры подписей нужно будет сделать не по порядку, а произвольно. Например, заглавия столбцов (подписи сверху) можно сделать такими: 2, 4, 7, 9, 1, 5, 6, 10, 3, 8. А заглавия столбцов такими: 3, 5, 7, 1, 8, 6, 4, 10, 2, 9.
Если в таблице Пифагора будет такой разнобой, то не получится просто заполнить клетки в одной строке, добавляя, например, по 5 в строке с пятёркой. Вам нужно будет реально ЗНАТЬ или хотя бы пробовать вспомнить, чему равно 5*7.
Следующее задание снова использует таблицу Пифагора, но в ней есть небольшой элемент игры. Она немного даже напоминает судоку.
Представьте себе, что вы полностью заполнили карандашом ТП из предыдущего задания. Представим, что и заголовки тоже написаны карандашом. Так вот я предлагаю стереть часть ответов непосредственно из главного поля и некоторую часть ячеек с подписями. То есть нужно будет уметь по результатам восстановить множители.
Чтобы создать это задание, я просто беру Excel файл, формирую протягиванием таблицу Пифагора, переставляю строки и столбцы, а потом стираю бОльшую часть ячеек. Всё это занимает меньше минуты. Таких заданий с подобной механикой и разного уровня сложности можно быстро придумать очень много.
Думаю, что по описанию сложно будет сразу понять, как выглядят эти упражнения, поэтому примеры заданий я прикреплю к посту.
Следующие изолированные задания тренируют умение разложить на множители числа из таблицы умножения.
Задание простое. Есть перечень чисел из таблицы умножения. Нужно восстановить для каждого числа, произведением каких однозначных чисел оно является. То есть выписаны в столбик вот такие числа: 28, 49, 15, 24*, 81, 10, 45 и т.д. Нужно рядом написать разложение на множители: 28=4×7, 49=7×7, 15=3×5, 24=8×3=6×4, 81=9×9, 10=2×5, 45=9×5. Звездочка рядом с числом означает подсказку, что число допускает два разложения.
И, наконец, самое сложное изолированное упражнение.
Нужно будет выписать подряд в порядке возрастания все результаты из таблицы умножения и их разложения на множители. То есть в столбик нужно будет написать 6=2×3, 8=2×4, 9=3×3, 10=2×5, 12=2×6=3×4, 14=2×7, 15=3×5 и т.д.
Можно чуть разнообразить это задание, например, выписывая числа в порядке убывания, начиная со 100 (то есть 100=10×10, 90=10×9, 81=9×9, 80=8×10 и т.д.). Или попросить выписать табличные значения только из определенного промежутка, например, от 20 до 40.
В последних двух упражнениях варианты с умножением на единицу лучше не учитывать. То есть рассматриваем случай 6=2×3, а случай 6=1×6 нам не интересен.
Но подобные изолированные упражнения имеют существенный недостаток – они чисто тренировочные и оторваны от реальных школьных упражнений. На первых этапах, когда вы только выучили таблицу умножения, они полезны, но потом следует использовать только комплексные упражнения.
По сути, вся дальнейшая программа предполагает постоянное повторение таблицы умножения косвенным путём. Но есть такие задания, которые делают это наиболее эффективно.
Во-первых, это деление с остатком. Задания вроде «разделить с остатком 56:6» предполагают довольно высокий навык владения делением и умножением.
Тоже самое касается примеров, которые неявно предполагают деление с остатком. Это выделение целой части для неправильной дроби и деление нацело многозначных чисел на однозначное. В какой-то момент следует заменить простое деление с остатком именно на них. Деление на двузначное число требует немного другого навыка (и соответственно лучше прокачивает именно его).
Во-вторых, это примеры, которые требуют умения быстро разложить на множители. В первую очередь это касается сокращения соответствующих дробей.
То есть на этом этапе вначале полезно посокращать дроби вида 15/24 и 14/56. Потом можно перейти к дробям с числителем вида 45×56×88 и знаменателем 33×63×28. Сложность в том, что теперь мы вынуждены искать те числа, которые можно сократить, а для этого нам надо очень хорошо знать их разложения на множители. Обычно чуть позже в эти задания я добавляю результаты умножения на 11 и числа 36, 48, 60.
Наконец, после этого можно перейти к умножению (а в последствии и к делению дробей), подбирая задания так, чтобы в них было много разных сокращений.
Далее никаких дополнительных отдельных заданий на таблицу умножения не требуется. Она будет изредка автоматически проверяться и закрепляться благодаря текущим заданиям из школьной программы (например, скоро мы поговорим про умножение двузначных чисел, которое тоже основано на ТУ).
Теперь общие моменты.
Не брать в руки калькулятор. Проверку того, правильно ли вы посчитали, следует делать по печатным материалам.
Нужно, чтобы все примеры из ТУ решались на автоматизме. При этом не стоит боятся ошибок. Изредка ошибаются даже сильные ученики.
Помнить, что без использования всё забывается, в том числе и ТУ.
Мало поставить галочку напротив графы таблица умножения и после этого с чистой совестью переходить к азам планиметрии или тригонометрии. Догоняющая математика всегда непрерывна.
Далее переходим к так называемому внетабличному умножению.
