(Теория вероятностей)
- Классическое определение вероятности. определения. Примеры.
- Статистическое определение вероятности и связь с классическим определением.
- Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- Комбинаторика: размещения, сочетания, перестановки.
- Дискретные и непрерывные случайные величины.
- Закон распределения случайной величины и способы его задания.
- Математическое ожидание случайной величины.
- Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
- Формула Бернулли. Биномиальное распределение.
- Формула Пуассона. Закон распределения вероятностей редких событий.
- Гипергеометрическое распределение.
- Равномерное распределение.
- Непрерывные случайные величины. Дифференциальная и интегральная функции их распределения.
- Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
- Нормальное распределение. Плотность нормального распределения и ее свойства.
- Функция Лапласа: график, свойства, таблицы.
- Локальная теорема Лапласа.
- Интегральная теорема Лапласа.
- Вариационные ряды. Накопленные частоты.
- Графическое изображение вариационных рядов.
- Точечная оценка генеральной средней по выборочной средней.
- Статистическая проверка гипотез. Ошибки I и II рода. Уровень значимости
- Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины. Критерий согласия Пирсона.
- Корреляция случайных величин.
1. Лекция 1 (9.02.2021)
Введение
Пусть проводится эксперимент. По окончании проведения эксперимента наблюдаются результаты эксперимента. В теории вероятностей результаты эксперимента называют событиями или исходами. Если в результате эксперимента событие может произойти или не произойти, то событие является случайным (возможным). Говоря о случайном событии всегда подразумевается некоторый эксперимент, в результате которого это событие появилось. Важно уметь измерять вероятность появления случайного события в эксперименте.
Все это кратко сказанное рассмотрим более подробно и рассмотрим некоторые простые примеры.
Пример 1. Пусть проводится эксперимент: подбрасывается монета. Подброшенная монета может выпасть орлом вверх, а может не выпасть орлом вверх. Поэтому событие “при подбрасывании монеты выпадет орёл” есть случайное событие в эксперименте по подбрасыванию монеты. Если проводить эксперимент много раз, то можно заметить, что орёл и решка появляются приблизительно одинаково часто. Эти события имеют равную вероятность.
Пример 2. Пусть в урне находятся 2 черных и 3 красных шара. Пусть проводится эксперимент: вынимается не глядя один шар. В результате эксперимента появится либо черный, либо красный шар. Событие “появился черный шар” есть случайное событие. Случайным событием будет и событие “появился красный шар”. Однако, если проводить эксперимент много раз, всякий развозвращая шар в урну и тщательно её встряхивая, то можно заметить, что в результате опыта красный шар появляется чаще, чем черный, причём в строго определённой пропорции.
Пример 3. Пусть проводится эксперимент: производится стрельба из спортивной винтовки. Стрелок может попасть в цель, может не не попасть. Поэтому событие “попадание” в эксперименте есть случайное событие. Интуитивно ясно, что новичок вероятнее промахнётся, а спортсмен-разрядник скорее поразит мишень. Если проводить эксперимент с новичком, то он большей частью будет не попадать в мишень. Если проводить многократно эксперимент со спортсменом разрядником, то он чаще будет попадать в мишень.
Эксперимент.
Большую роль в науке играют события, возникающие в научных экспериментах, которые ставит человек. Явления или события происходят при создании некоторых условий, всю совокупность которых обозначим буквой S. Если созданы условия S (природой, человеком), то говорят, что ставится эксперимент. Условия S проведения эксперимента особо оговариваются или подразумеваются. Эксперимент суть совокупность некоторых условий.
Наряду со словом эксперимент употребляется слова опыт, испытание, наблюдение. Вместо того, чтобы говорить “ совокупность условий S осуществлена” говорят “проведено испытание’ или “проведен эксперимент” или “проведен опыт”. Можно говорить, что наблюдаемые явления происходят в результате эксперимента. Говорят даже, что природные явления происходят в результате эксперимента проведённого природой. Вместо термина явление, наступающее в результате опыта, употребляется более короткое словосочетание: исходы эксперимента или элементарные события эксперимента.
В примере 1 под условиями S предполагается выполнение следующих условий: монета однородна, имеет несмещённый центр тяжести (бутерброд имеет смещённый центр тяжести, поэтому чаще падает маслом вниз), имеет идеальную круглую форму, опыт производится в отсутствии помех, способ подкидывания приблизительно один и тот же и тому подобные условия. Однако в этих условиях есть неучтённые условия, которые и приводят к случайности. Например, сила с которой монета подбрасывается пальцем руки в каждом произведённом опыте может быть разной. Поэтому подбрасывание производится на разную высоту и количество вращений в воздухе будет произвольным.
В примере 2 под условиями S предполагается выполнение следующих условий: вынутый шар после каждого опыта возвращается в урну, урна при каждом опыте встряхивается и 5 шаров распределяются случайным образом, экспериментатор не видит шары, все шары имеет идеальную одинаковую круглую форму и одинаковые размеры, шары не различимы на ощупь. Однако в условия S не входят некоторые факторы, которые и приводят к случайности появления белого или красного шара. Например, при встряхивании все шары имеют случайные разные скорости по величине и направлениям, которые учесть невозможно.
В примере 3 под условиями S предполагается выполнение следующих условий: стрелок одинаково тщательно прицеливается, не утомляется, отсутствуют мешающие факторы и т.п. Однако в условия S не входят некоторые факторы, которые и приводят к случайности попадания или промаха: некоторые колебания воздуха, неоторые отличия в положении рук с винтовкой и т.п.
Во всех трёх примерах в эксперименте присутствуют условия S, которые остаются постоянными и неизменными при многократном проведении эксперимента и есть более тонкие условия, которые учесть невозможно и они приводят к случайным исходам эксперимента.Результаты эксперимента (события).
События эксперимента обозначаются заглавными латинскими буквами A, B, C, D, E, F, … . Результаты эксперимента (события, исходы, явления) подразделяются на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным событием называют событие, которое обязательно произойдёт при создании совокупности условий S.
В науке и математике часто утверждаются истины: вода кипит при 100 градусах, свет распространяется по прямой, дважды два - четыре, сумма чётных чисел чётна, через две точки можно провести только одну прямую и так далее Эти утверждения относятся к достоверным явлениям. Естественнонаучные дисциплины во многих случаях изучают достоверные явления и законы, которым они подчиняются.
Невозможным событием называется событие, которое заведомо не может произойти при создании совокупности условий S.
Например, в примере 1 монета не может упасть на ребро, это событие считается невозможным, в примере 2 не может появиться шар черного цвета, в примере 3 после выстрела пуля не может остаться в дуле аинтовки.
Реальная жизнь и практика не так просты и однозначны. Они не исчерпываются достоверными и невозможными явлениями. Исходы многих экспериментов заранее непредсказуемы. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадёт подброшенная вверх монета, попадёт стрелок в цель или нет, какого цвета будет вынут шар из урны, какая масть будет вытянута из колоды и т.д. Это вероятностные задачи, в них условия проведения эксперимента S строго определены. Такие задачи решает теория вероятностей. Теория вероятностей изучает, главным образом, те явления, которые могут произойти или не произойти в экспериментах.
Схема для иллюстрации взаимосвязи понятий: совокупность условий S (эксперимент) и результаты эксперимента.
Из рисунка видно, что результатами эксперимента являются разные события A, B, C, …., D.
Теория вероятностей.
Однако случайные явления тоже имеют свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении одного и того же эксперимента. Если провести эксперимент: подбросить например монету 1000 раз, то «орёл» выпадет приблизительно в половине случаев. Закон не утверждает, что число «орлов» будет в точности 500 или окажется в промежутке от 490 до 510. Он не предсказывает абсолютно точно количество исходов, но даёт определённую степень уверенности в том, что некоторое случайное событие происходит с определённой частотой при многократных повторении опыта (создании условий S), т.е. указывает на некоторую закономерность. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – теория вероятностей.
Теория вероятностей есть раздел математики, который изучает закономерности случайных событий, возникающих в проводимых многократно экспериментах.
Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает возможность установить многие законы случайных явлений опытным путем, многократно повторяя эксперименты при одних и тех же условиях S. Материалами для этих экспериментов чаще всего бывают обыкновенная монета, игральный кубик, шары, домино, рулетка, колода карт и др. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми. Дело в том, случайное явление здесь предстает в наиболее чистом виде, и первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на возможность выигрыша (вероятность выигрыша).
Вероятность.
Наиболее важным понятием теории вероятностей есть понятие вероятности события. Оценивая возможность наступления какого-либо события в эксперименте, мы хотели бы количественно, с помощью числа выразить степень возможности наступления события. Важно уметь давать количественные характеристики вероятности наступления событий. Нужно научиться измерять вероятность будущих событий, с какой частотой они будут появятся в эксперименте проводимом много раз.
Мы знаем, как измеряются длины, площади, объёмы, время, масса, углы, работа, температура, информация и др. Для измерения какой либо величины выбирается единица измерения: для длины – метр, для площади – квадратный метр, для объема – кубический метр, для времени – год, для веса – килограмм, для углов – полный угол, для работы – джоуль, для температуры – градус, для информации – бит и т. д.
Для измерения большей или меньшей возможности наступления события в эксперименте в качестве единицы измерения берётся число 1, которое характеризует достоверное событие. Говорят, что достоверное событие появится с 100% вероятностью и вероятность равна 1. Невозможное событие оценивается числом 0. Говорят, что невозможное событие произойдёт с вероятностью 0 (т. е. оно не произойдёт).
Вероятность случайного события A это есть действительное число заключённое между 0 и 1 и обозначаемой обычно буквой Р. Чем больше число Р и ближе к 1, тем вероятнее произойдёт событие в эксперименте.
Математическая статистика.
Есть вопросы прогнозирования, например: каковы прогнозы на урожай в данном году, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону, выиграет ли футбольная команда матч и т.д. Задачи прогнозирования более сложные, чем вероятностные задачи, так как условия S в них много больше, чем в вероятностных задачах. Специфические ответы на поставленные вопросы даёт математическая статистика. С помощью теории вероятностей и математической статистики, в которых измеряется степень случайности, можно предсказывать с большой степеньюуверенности появление многих случайных событий и явлений.
Математическое прогнозирование.
Возникают и другие вопросы прогнозирования. Каковы последствия экологического кризиса, будет ли изобретено средство против рака в новом столетии, состоится ли полёт человека на планету Марс, в ближайшие 50 лет, будет ли применено ядерное оружие и каковы последствия его применения и т.д. Эти явления тоже случайны, но условий S появления случайного события так много, их трудно или невозможно учесть, временные промежутки столь длинны, что отвечать на подобные вопросы теория вероятностей и математическая статистика не могут. Эти гипотезы не являются статистическими, поскольку в них не идет речь ни о виде, ни о параметрах распределения случайных величин. Ответить берутся лишь гипотетически, применяя математическое моделирование и экспертные компьютерные программы, в которые закладываются те или иные условия S.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. События и их вероятности
1.1. Эксперимент и его результаты.
П р и м е р 1. Пусть проводят эксперимент, который состоит в подбрасывании одной монеты. Результаты эксперимента называются событиями или исходами эксперимента. При подбрасывании монеты она может упасть на стол вверх: либо орлом (гербом) (О), либо решкой (цифрой) (Р). Исходами такого эксперимента будет две возможности выпадение монеты верхом либо “О(рлом)”, либо “Р(ешкой)”. Никаких других исходов нет.
Рис.1. Эксперимент по подбрасыванию одной монеты и элементарные (непосредственные) исходы.
К следующему утверждению надо относится как к утверждению показывающего тождественность понятий: результат, факт, событие, исход.
Событие (или исход) эксперимента есть всякий результат,
который может произойти или не произойти при проведении эксперимента.
В данном примере событиями эксперимента могут быть
А = {выпал орел},
В = {выпала решка}.
Термины результат, факт интуитивно воспринимаются как более общие понятия, чем событие или исход, хотя на самом деле в теории вероятностей они принимаются совершенно равнозначными и ни один из них не имеет большего объема, чем другой. Никаких договоренностей о том, какой термин имеет больший объем нет, и при аксиоматическом построении теории становится ясным, что договариваться и не надо.
Термины эксперимент,опыт, испытание тоже есть понятия тождественные, хотя термин эксперимент воспринимается как более общее понятие, чем опыт или испытание.
Непосредственные исходы опыта, по подбрасыванию монеты, О или Р неразложимы на другие более простые исходы. Для того чтобы подчеркнуть, что неразложимыми на более простые исходы являются исходы О или Р их называют элементарными исходами (или элементарными событиями) данного эксперимента по подбрасыванию монеты.
П р и м е р 2. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате эксперимента первая может упасть орлом вверх (О), а может упасть решкой вверх (Р). То же самое относится и ко второй монете, которая тоже может выпасть “орлом”, вверх, либо “решкой” вверх. В результате проведения такого эксперимента имеется уже четыре непосредственных результата, которые и называются исходами этого эксперимента. Запишем их в виде совокупности буквенных символов ОО, ОР, РО, РР. Любой исход, например ОР будем считать элементарным для данного эксперимента по подбрасыванию двух монет.
Рис.2. Эксперимент по подбрасыванию двух монет и элементарные исходы.
П р и м е р 3. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 3 монет одновременно. Событием или исходом будет какая то одна комбинация из букв О или Р. Например, все монеты выпали орлом и имеем сочетания букв OOO.
Подсчитаем сколько может быть таких комбинаций. На первом месте (в первой позиции) может быть только одна из букв О или Р.
О _ _, Р_ _
На втором месте (на второй позиции) тоже может быть только О или Р и имеется 4 возможности
OO_, OP_, PO_, PP _
На третьем месте (на третьей позиции) может быть тоже одна из двух букв O или P и тогда к предыдущим 4 исходам добавляется ещё 4 .
Имеем всего восемь комбинаций
OOO, OOP, OPO, OPP, POO, POP, PPO, PPP.
Имеем совокупность восьми исходов, которые образуют пространство состояний W данного эксперимента.
Рис.3. Элементарные исходы по подбрасыванию трёх монет.
Отметим, что в эксперименте порядок символов играет роль. Так ООР, ОРО, РОО есть разные комбинации символов. События ООР, ОРО, РОО разные
Пример 4. Пусть в урне находятся 3 черных и 7 красных шара. Пусть проводится эксперимент: вынимается, не глядя один шар. В результате эксперимента появится либо черный, либо красный шар. Событие “появился черный шар” есть случайное событие. Случайным событием будет и событие “появился красный шар”.
Рис.1. Эксперимент по выниманию шара из урны и элементарные исходы
Пример 5. Пусть в урне находятся 3 черных и 7 красных шара. Пусть проводится эксперимент: вынимается, не глядя один шар, затем вынимают второй шар. В результате проведения такого эксперимента имеется четыре результата, которые и называются исходами этого эксперимента. Запишем их в виде совокупности буквенных символов ЧЧ, ЧК, КЧ, КК. Любой исход, например КК будем считать элементарным для данного эксперимента по выниманию двух шаров из урны с возвратом.
Рис.1. Эксперимент по выниманию 2 шаров из урны и элементарные исходы.
П р и м е р ы.
6.
Пусть в урне находятся 3 черных и 7 красных шара. Пусть проводится эксперимент: вынимается, не глядя один шар, затем вынимают второй, затем вынимается третий шар.
В результате проведения такого эксперимента имеется восемь результатов, которые и называются исходами этого эксперимента. Запишем их в виде совокупности буквенных символов ЧЧЧ, ЧЧК, ЧКЧ, ЧКК, КЧЧ, КЧК, ККЧ, ККК. Любой исход, например ККК будем считать элементарным для данного эксперимента по выниманию трех шаров из урны с возвратом.
Стрелок один раз стреляет по мишени. Он может попасть в цель либо не попасть. Исходами эксперимента являются две возможности “попадание” (П), или “непопадание” (О).
8.
Два стрелка стреляют по мишени одновременно. Каждый может попасть в цель (П) или промахнуться (О). Элементарными исходами опыта являются четыре возможности ПП, ПО, ОП, ОО..
9.
Три стрелка стреляют по мишени одновременно. Каждый может попасть в цель (П) или промахнуться (О). Элементарными исходами опыта являются восемь возможностей ППП, ППО, ПОП, ПОО, ОПП, ОПО, ООП, ООО.
10.
Орудие произвело два выстрела по цели. Попадание (1), промах-(0). Тогда результатами (исходами) эксперимента будут четыре возможности 11, 10, 01, 00.
11.
а) В урне 2 черных и 3 красных шара. Наугад берут два шара и следят за появлением очерёдности. Исходом опыта может быть только одна из четырёх возможностей. Четыре исхода образуют комбинации К и Ч. Исходы: КК, КЧ, ЧК, ЧЧ.
б) В урне 2 черных и 3 красных шара. Наугад берут два шара и в отличии от предыдущего примера, не следят за появлением очерёдности (например, вытаскивает один экспериментатор, а другой находится в другой комнате и затем входит и смотрит какой имеется исход. Перед ним два шара и он не знает в какой последовательности они вытащены, поэтому исходы “красный -черный” и “черный – красный” для него не отличаются. Так как очерёдность появления цвета не играет роли, то исходом опыта может быть только одна из трёх возможностей. Три исхода образуются из комбинации К и Ч. Элементарными исходами будут три комбинации символов: КК, КЧ ºЧК, ЧЧ. Комбинация КЧ тождественна комбинации ЧК.
12.
На полке стоят три книги в красном переплете (К) и две в черном (Ч). Берут наугад а) две книги б) три книги. Каковы исходы эксперимента?
Ре ш е н и е.
По условию задачи предполагается, что очередность появления цвета несущественна.
а) имеется три исхода КК, КЧ≡ЧК, ЧЧ.
б) имеется три исхода : все книги красные ККК, две красные и одна черная ККЧ≡КЧК≡ЧКК, две черные и одна красная, ЧЧК≡ЧКЧ≡КЧЧ.
Мы имеем комбинации символов. Запись со знаком ≡ , означает, комбинации имеющие одни и те же символы, отличающиеся только порядком следования символов в позициях не имеет смысла по условию задачи, различать.
Тут следует отметить, что порядок следования символов в комбинациях может быть важен, по условию задачи, или наоборот никакой роли не играть. Часто в задачах это не оговаривается и требуется смекалка, для решения этого вопроса о том, нужно ли учитывать порядок символов или нет.
13.
Брошена одна игральная кость, у которой на каждой грани отмечено различное количество точек – от 1 до 6. Довольно часто точки на гранях заменяют соответствующим числом и тогда говорят о выпадении чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Исходами эксперимента, тогда является появление одной из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
14.
а) Брошены два игральные кубика. Кубики различают (один первый, другой второй). Исходами эксперимента является появление одной из 36 чисел (возможны 36 событий):
11, 12, 13, 14, 15, 16,
21, 22, 23, 24, 25, 26,
31, 32, 33, 34, 35, 36,
41, 42, 43, 44, 45, 46,
51, 52, 53, 54, 55, 56,
61, 62, 63, 64, 65, 66.
Все исходы равновозможны.
б). Брошены два игральные кубика. Если условие немного изменить и считать, что наблюдающий не знает какой из кубиков первый, а какой второй, то исходов будет меньше, так как : 12 будет считаться не отличим от 21, 13 не отличим от 31, и т.д.
Всего исходов будет 21 элементарное событие. Исходом эксперимента является появление только одного из 21 чисел:
11, 12 ≡21, 13 ≡31, 14 ≡41, 15 ≡51, 16 ≡61,
22, 23 ≡32, 24 ≡42, 25 ≡52, 26 ≡62,
33, 34 ≡43, 35 ≡53, 36 ≡63,
44, 45 ≡54, 46 ≡64,
55, 56 ≡65,
66.
Элементарные исходы в эксперименте не равновозможные, так событие 11 не равновозможен событию 12 ≡21.
14.
Даны числа 5, 6, 7, 8. Записывают наугад а) две цифры б) три цифры. Цифры в числе не могут повторяться. Сколько всего исходов в экспериментах а) и б)? (Очевидно, при выборе цифр последовательность появления, играет роль).
Решение.
а) На первую позицию в двухзначном числе можно поставить любую из 4 цифры. На вторую любую из трёх оставшихся,, следовательно можно составить всего 4 × 3 = 12 двухзначных чисел.
б) На первую позицию в трёхзначном числе можно поставить любую из 4 цифры. На вторую позицию любую из трёх оставшихся, 4 × 3 = 12 комбинаций. На третью позицию можно поставить любую из двух оставшихся цифр, поэтому имеем всего и 4 × 3 ×2 = 24 комбинаций. .
15.
Даны числа 5, 6, 7, 8. Записывают наугад а) две цифры б) три цифры. Цифры в числе могут повторяться. Сколько всего исходов в экспериментах а) и б)? (Очевидно, при выборе цифр последовательность появления, играет роль).
Решение.
а) На первую позицию в двухзначном числе можно поставить любую из 4 цифр. На вторую любую тоже можно поставить любую из 4 цифр, следовательно можно составить всего 4 × 4 = 16 двухзначных чисел.
б) На первую позицию в трехзначном числе можно поставить любую из 4 цифр. На вторую любую тоже можно поставить любую из 4 цифр, следовательно можно составить всего 4 × 4 = 16 двухзначных чисел. На третью позицию можно поставить тоже четыре цифры и имеется 4 × 4 × 4 = 64 трехзначных чисел.
16.
В вазе лежат мандарин (М), яблоко (Я), слива (С) и апельсин (А). Берут наугад а) два фрукта б) три фрукта. Каковы исходы (наборы фруктов)? (Очевидно, при выборе набора фруктов последовательность появления, не играет роли для потребителя).
Решение.
а) МЯ ºЯМ, МС ºСМ , МАº АМ, ЯС ºСЯ, ЯАº АЯ
б) МЯС, МЯА, МСА, ЯСА всего 4 комбинации. Другие возможные комбинации будут сводиться к перестановке символов.
17.
Ученик знает четыре из пяти билетов и не знает один билет. Дают ученику два билета. Ученику важно – знает он билет или не знает. Каковы исходы?
Р е ш е н и е
Если вытянут билет, который ученик знает, то обозначим этот случай цифрой 1, если не знает, то цифрой 0. Результатом опыта (исход) есть наличие двух вытянутых билетов. Последовательность вытянутых билетов на экзамене роли не играет (не входит в условие S эксперимента). Тогда имеем всего два исхода опыта 11, 10º01. Это означает, что может быть только два варианта: либо оба билета ученик знает, либо из двух знает только один. Других исходов нет. Эти исходы не равновозможные.
Мы рассмотрели эксперименты (опыты) и исходы (события) экспериментов (опытов). Эти фундаментальные понятия теории вероятности. Чтобы подчеркнуть, что события, появляющиеся в экспериментах, упростить нельзя или не рационально упрощать, то такие события называют элементарными исходами или элементарными событиями эксперимента. Слово “элементарный” иногда говорят, иногда не говорят, но всегда должно быть ясно, что имеется в виду. Кроме элементарных исходов (событий) бывают составные (неэлементарные события), которые рассматривают как события, состоящие из совокупности более простых, элементарных событий.
1.2. Термины: эксперимент, опыт, испытания
Эксперимент есть совокупность условий S. Вместо слова эксперимент, часто говорят опыт. Тогда можно сказать элементарные события произведённого опыта. Под опытом или экспериментом понимают и другие явления. Например, природные явления. Прогнозирование погоды есть эксперимент, в результате которого можно угадать или не угадать погоду через, например, 10 дней. Угадывание может произойти (+) или не произойти (−).
Ещё вместо терминов эксперимент или опыт часто говорят испытание, наблюдение. Важно запомнить, что можно употреблять любое слово: эксперимент, опыт, испытание, наблюдение. Эти термины равнозначны, они тождественны по смыслу. Какое слово употребить часто зависит от удобства выражения условия задачи, от намерения более изящно выразить мысль или даже личных предпочтений.
1.3. Термины: результаты опыта (событие, исходы, случаи, явления)
Термины результат, события, исходы, случаи, явления, относящиеся к вполне определенному эксперименту являются тождественными понятиями. Эти термины равнозначны, они тождественны по смыслу. Какое словосочетание употребить часто зависит от удобства. Как удобно, так и можно говорить.
Важно не путать, понятия:
эксперимент (опыт испытания, наблюдения)
с понятием
результат (событие, исход, случай, явление).
Итак, имеются три равнозначных термина, наиболее часто употребляемые для обозначения того, что созданы условия S: эксперимент, опыт, испытание.
Для обозначения результатов эксперимента применяются четыре термина: событие, исход, случай, явление. Употребление того или иного термина или словосочетания диктуется сложившимися традициями, удобством восприятия или даже личными предпочтениями.
Н а п р и м е р, явление природы, явление опыта, исход опыта, исход эксперимента, событие в опыте, исход испытания, событие в испытании и т.д.
Замечание 1. Бывают и другие более редко используемые термины, для обозначения результатов эксперимента: “факты”, ”возможности”, “случаи” , ”“гипотезы”, “элементы ”, ”точки ” и др.
Замечание 3: Особое значение имеет словосочетание – элементарные исходы эксперимента, которое употребляется для обозначения события, которое не разложимо или нет смысла раскладывать на более простые события.
Замечание 4: Термином случаи эксперимента обозначают элементарные исходы эксперимента, которые обладают тремя свойствами: несовместности, равновозможности и образовывать полную группу.
Замечание 5: Для классического определения вероятности Р вся совокупность элементарных исходов эксперимента (опыта) должны обладать тремя свойствами: события должны быть несовместны, равновозможны и образовывать полную группу событий, т.е. являться случаями. Эти понятия обсуждаются ниже.
Замечание 6. Термином случаи эксперимента обозначают ЭИ эксперимента, которые обладают тремя свойствами - несовместности, образуют полную группу, и равновозможны.
Обобщая примеры 1-17, можем изобразить схему:
Рис. 6. Условный рисунок, поясняющий тот факт, что эксперимент состоит из элементарных исходов, которые можно обозначить точками. Точки не имеют частей и ЭИ не состоят из других событий, поэтому ЭИ удобно изображать точками. Как видим, исходы можно называть точками и обозначать большими буквами
Для классического определения вероятности Р вся совокупность элементарных исходов эксперимента (опыта) должны обладать тремя свойствами: события должны быть несовместны, равновозможны и образовывать полную группу. Такие события, как выше уже отмечалось (замечание 6), называются случаями. Эти понятия подробнее обсуждаются ниже.
1.4. Случайные события
Мы познакомились с понятием элементарных исходов (ЭИ). Будем теперь пользоваться более общим термином ‹‹событие››. Нашей ближайшей целью будет введение понятия ‹‹вероятности››, которое применяется к случайным событиям и обозначается через Р. Для этого вначале познакомимся, как математики понимают термин “случайное событие”. Оценивая возможность наступления какого-либо события в эксперименте, мы часто говорим: «это очень возможно», «это непременно произойдет», «это маловероятно», «это никогда не случится». Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать; стреляя в тире, мы можем попасть в цель, а можем не попасть; вытягивая билет на экзамене, мы можем вытянуть билет, который знаем или который не знаем. Это хорошо известные примеры случайных событий, которые при условиях эксперимента S могут произойти, а могут и не произойти.
П р и м е р 1. Пусть проводят эксперимент, который состоит в подбрасывании одной монеты. При подбрасывании монеты она может упасть вверх либо ‹‹орлом›› (гербом) (О), либо ‹‹решкой›› (цифрами) (Р). В результате проведения эксперимента появится либо ‹‹орёл» (О), либо ‹‹решка›› (Р). Элементарными событиями такого эксперимента будут два случайных события: О или Р. Итак, в данном эксперименте выпадение орла О есть случайное событие. Случайное событие - также появление «решки» Р. (Их можно назвать случайными элементарными исходами.)
П р и м е р 2. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате проведения такого эксперимента имеется 4 элементарных исхода. Событие, например OO, может произойти, но может не произойти, поэтому оно есть случайное событие. Элементарными исходами такого эксперимента будут четыре случайных события: выпадение ОО, OP, PO, PP. Итак, в данном эксперименте выпадение двух орлов ОO есть случайное событие. Случайное событие - также появление какого-нибудь другого элементарного исхода из совокупности OР, PO, PP.
Термины ‹‹простое случайное событие››, ‹‹элементарный исход›› равнозначны, эквивалентны, между ними нет никакой разницы. Кроме простых (элементарных) событий рассматриваются и составные события.
1.2. Элементарные и составные события
Следующий шаг к точному определению математического понятия ‹‹вероятность события›› состоит в уточнении разницы между двумя типами событий: элементарными и составными.
Составные события ещё называют неэлементарными событиями. Чтобы облегчить введение этого сложного понятия, вспомним, что такое натуральное число. Натуральное число состоит из совокупности единиц: 2 есть совокупность двух единиц, 3 есть совокупность трёх единиц и т.д. Пишут так:
2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1, 10 = 1 + 1 + … + 1 и т. д.
Натуральные числа можно представить как объединение равных чисел, например 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2, или 10 = 5 + 5.
Натуральные числа можно представить как объединение неравных чисел, например 10 = 3 + 7 или 10 = 2 + 3 + 5. Итак, каждое натуральное число есть совокупность (объединение) некоторого количества единиц или некоторых чисел.
Сравните: составное событие состоит из совокупности (объединения) элементарных исходов, или каких-либо событий.
Другую аналогию можно привести из объектов геометрии. Элементарное событие изображают с помощью точки, тогда совокупность нескольких точек есть составное событие.
Рис. 7. Элементарные исходы 1, 2, 3, … не состоят из других событий, поэтому их удобно изображать точками, которые не имеют частей. Составные события A, B, С состоят из элементарных исходов, они есть объединение элементарных исходов
Когда в эксперименте реализуется какой-то элементарный исход, то считается, что произошло и составное событие, в которое этот исход входит. Например, если произошел исход, помеченный числом 1 (рис.7), то можно считать, что произошло и событие A. Если произошел исход, помеченный числом 2, то считается, что произошло и событие B. Если произошел исход, помеченный цифрой 3, то считается, что произошло и событие С. Если произошел исход, помеченный цифрой 4, то считается, что произошло событие B и С одновременно. События B и С - совместны. Если произошел исход помеченный цифрой 5, то считается, что произошло и событие А и С одновременно. События А и С - совместны. Очевидно, что события A и B одновременно появиться в эксперименте не могут, они не содержат общих элементарных исходов, они не совмещаются, они несовместны.
П р и м е р 1. Пусть проводят эксперимент, который состоит в подбрасывании одной монеты. При подбрасывании монеты она может упасть на стол вверх либо ‹‹орлом›› (О), либо ‹‹решкой›› (Р). В данном эксперименте имеется два элементарных исхода: О или Р. Исход О или Р неразложим на другие более простые исходы. Пространство событий W эксперимента состоит из совокупности двух исходов. Пишут так: W = О + Р и читают «пространство событий W состоит из суммы двух элементарных событий». Аналогия (но не полная) с натуральными числами здесь такая: 2 = 1 + 1.
С = W = {выпал или «орел», или «решка»}.
D = {выпали одновременно «орел» и «решка»}.
Составное событие С = W состоит из объединения двух событий О + Р, и оно обязательно произойдет, так как обязательно выпадет или О, или Р. Составное событие С является достоверным. Оно произойдет со стопроцентной достоверностью (вероятностью).
Событие D состоит из пересечения (совмещения) двух событий О и Р, т.е. одновременного выпадения и О и Р, но О и Р не совмещаются. Очевидно, событие D не может никогда произойти. Событие D невозможное. Оно произойдет с нулевой достоверностью (т.е. не произойдет). Его вероятность равна нулю (ноль процентов).
П р и м е р 2. Если бросаем 2 монеты одновременно, то первая может упасть ‹‹орлом›› вверх (О), а может упасть ‹‹решкой›› вверх (Р). То же самое относится и ко второй монете, которая тоже может выпасть О или Р вверх. В этом примере имеется четыре возможности, которые и называются элементарными исходами этого эксперимента ОО, ОР, РО, РР. Пространство событий эксперимента состоит из совокупности четырех элементарных исходов W = ОО + ОР + РО + РР.
Пространство событий состоит из объединения четырех элементарных исходов (или W есть сумма четырёх исходов). Аналогия (но не полная) с натуральными числами здесь, например, такая: 8 = 2 + 2 + 2+ 2.
Рассмотрим событие А эксперимента, которое состоит в том, что в результате проведения эксперимента по подбрасыванию двух монет выпадет не менее одного орла (выпадет хотя бы один орел):
А = {выпадет хотя бы один орел}.
Это событие является составным событием. Событие А происходит при появлении любого из трёх элементарных исходов: либо ОР, либо РО, либо ОО. В любом из этих трёх случаев появляются либо один, либо два орла. Событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из элементарных событий: либо ОР, либо РО, либо ОО. Поэтому можно считать, что событие А состоит из объединения трёх элементарных исходов и писать (по аналогии с натуральными числами)
А = ОР + РО + ОО.
Пространство событий эксперимента W можно представить в виде объединения двух исходов W = А + РР. Аналогия с натуральными числами здесь такая 8 = 6 + 2.
Мы видим, что здесь есть определённая аналогия между понятием натуральное число, состоящим из единиц, и понятием составное событие, состоящим из элементарных исходов. Однако тут есть и различие. Натуральное число мыслится как появление сразу всей совокупности единиц, а составное событие А - как появление только одного элементарного исхода, из совокупности элементарных исходов, составляющих составное событие А.
Рис. 8. Схема, отражающая понятия: эксперимент, пространство элементарных исходов, составное событие A
Определение. Составным событием называется событие, которое состоит из объединения элементарных исходов. Говорят, что составное событие есть сумма элементарных исходов. Составное событие появляется в эксперименте, когда появляется один из элементарных исходов, входящий в сумму составного события.
Пусть в некотором эксперименте возможно событие А. Если событие А происходит только при появлении одного события из совокупности E1, E2 , …, En, то событие А называется суммой событий А = E1 + E2 + … + En
Рассмотрим ещё примеры.
П р и м е р 3. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 3 монет одновременно. Элементарным исходом будет какая-то одна комбинация из букв О или Р в трёх позициях. Условия эксперимента S те же, что и в примере 2. В пункте 1.1 было показано, что исходами эксперимента являются восемь следующих исходов:
OOO, OOP, OPO, OPP, POO, POP, PPO, PPP.
Восемь исходов случайны, образуют полную группу событий, равновозможны и несовместны.
Рассмотрим разнообразные составные события, запишем сумму элементарных исходов:
а) А = { на одной монете появляется орёл }
Рис. 9. Элементарные исходы и составное событие А
Ответ: А = OPP + POP + PPO;
б) В = {на двух монетах появится орёл}
Ответ: В = OOP + OPO + POO;
в) С = {хотя бы на двух монетах появится орёл}\
Рис. 11. Элементарные исходы и составное событие С
Ответ: С = OOO + OOP + OPO + POO;
г) D = {хотя бы на одной монете появится орёл}
Рис. 12. Элементарные исходы и составное событие D
Ответ:
D = OOO + OOP + OPO + OPP + POO + POP + PPO.
Итак, имеется некоторая аналогия между способами введения понятия натурального числа и понятия события, составленного из элементарных исходов. И число, и составное событие состоят из объединения элементов (число - из объединения единиц, составное событие - из объединения элементарных исходов), но имеется и отличие. Отличие состоит в том, что число всегда мыслится как вся совокупность единиц, а составное событие мыслится как возможность появления в эксперименте только одного элементарного исхода, входящего в это составное событие.
1.2. Примеры событий
Как простые, так и составные события мы обозначаем заглавными латинскими буквами и заключаем их описание в фигурные скобки, например:
A = {при бросании монеты выпадет Орел};
В = {при бросании кубика выпадет шестерка};
C = {при бросании кубика выпадет четное число очков};
D = {при бросании кубика выпадет не менее 4 очков}.
События А, В − простые события, С , D – составные. Все перечисленные события А, В, С, D — случайные. Есть события, которые в данных условиях эксперимента S произойти не могут. Их называют невозможными событиями.
Определение. Невозможным событием (при проведении эксперимента S) называется такое событие, которое не может произойти в данном эксперименте при условиях S.
Н а п р и м е р:
Е = {при бросании монеты она станет ребром};
F = {при бросании кубика выпадет семерка};
G = {при стрельбе из винтовки будет выбито больше очков, чем максимальное на мишени}.
Все события Е, F, G - невозможные.
Если же событие при данных условиях S обязательно произойдет, то его называют достоверным.
Определение. Достоверным событием (при проведении эксперимента S) называется такое событие, которое обязательно произойдёт в данном эксперименте S.
Н а п р и м е р:
H = {при бросании монеты выпадет орёл или решка};
J = {при бросании игрального кубика выпадет число очков, меньшее 7};
K = {при вытаскивании шара из урны, где только красные шары, будет вынут красный шар}.
Все события H, J, K - невозможные.
При рассмотрении случайных явлений очень важно рассматривать условия S проведения эксперимента, в результате которого происходят события. От условий эксперимента S зависит, будет ли событие достоверным, случайным, невозможным, будут ли события равновозможными, будут ли образовывать полную группу, будут ли совместными, будут ли зависимыми и т.п.
П р и м е р 1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в бросании двух кубиков, и рассмотрим следующие события:
А = {на кубиках выпало одинаковое число очков};
В = {сумма очков на кубиках не превосходит 12};
С = {сумма очков на кубиках равна 11};
D = {произведение очков на кубиках равно 11}.
Требуется определить, какое из событий А-D случайно, достоверно и невозможно.
Р е ш е н и е.
Исход любого бросания можно описать двумя числами, выпавшими на кубиках. Например, (3, 1) означает, что на первом кубике выпало число 3, а на втором - число 1.
При исходе (1, 1) событие А происходит, а при исходе (1, 2) − не происходит. Значит, событие А случайное.
Событие В происходит при любом исходе: ведь каждое из двух чисел на кубиках не превосходит 6, а значит, их сумма не превосходит 12. Следовательно, событие В достоверное.
Событие С происходит при исходе (5, 6), но не происходит при исходе (2, 2). Значит, оно случайное.
Наконец, для события D нет исхода, при котором оно происходит: число 11 нельзя представить в виде произведения двух натуральных чисел. Значит, это событие невозможное.
Первое событие A случайное, второе B достоверное, третье C случайное, четвертое D невозможное.
П р и м е р 2. В урне 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможные, какие - случайные, а какие - достоверные:
А ={все вынутые шары одного цвета};
В = {все вынутые шары разных цветов};
С = {не все вынутые шары одного цвета};
D = {среди вынутых есть шары всех трех цветов}.
Р е ш е н и е.
Событие А - невозможное: нельзя вытащить из коробки четыре шара одного цвета, так как в ней только по три шара каждого цвета.
Событие В − тоже невозможное: шары в коробке трех цветов, а вынимаем мы четыре шара.
Событие С − достоверное: все четыре шара, как мы уже выяснили, не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть шары хотя бы двух разных цветов.
Событие D - случайное. Действительно, закодируем исходы опыта первыми буквами цветов, в которые окрашены вынутые шары. Например: КЖЖЗ означает, что вынули один красный, два желтых и один зеленый шар. КЖЖЗ это пример исхода, при котором событие D происходит, а ККЖЖ - пример исхода, когда событие D не происходит.
1.2. Вероятность случая
Понятия несовместности, равновозможности и полной группы событий важны для введения классической формулы для вычисления вероятности, поэтому более подробно рассмотрим эти понятия, введённые в параграфах 1.1 ÷ 1.4 , для элементарных исходов. Мы уже знаем, что в результате эксперимента появляется один и только один элементарный исход. Элементарные исходы попарно несовместны. Все возможные элементарные исходы в эксперименте, образуют полную группу. При этом исходы могут быть равновозможными или не равновозможными. Мы ввели утверждения и определения:
Утверждение. Вся совокупность элементарных исходов эксперимента образует полную группу, в том смысле, что в результате проведения эксперимента появится только один элементарный исход из этой совокупности и никакой другой появиться не может.
Утверждение. Любая пара элементарных исходов A и B из этой совокупности попарно несовместна, в том смысле, что если произойдет исход А, то не произойдёт исход B. Если происходит элементарный исход А, то никакой другой элементарный исход произойти не может. Поэтому говорят, множество всех элементарных исходов эксперимента несовместно в совокупности.
Определение. Элементарные исходы эксперимента называются равновозможными, если в результате проведения эксперимента нет оснований полагать, что один исход более возможен (предпочтителен), чем другой.
Рассмотрим эти понятия на примерах.
П р и м е р 1. При подбрасывании монеты она может упасть вверх либо ‹‹орлом›› (О), либо ‹‹решкой›› (Р). Элементарными исходами такого эксперимента будут две О или Р. Предполагается, что монета однородна, имеет несмещённый центр тяжести, имеет правильную форму, при подбрасывании монеты она многократно вращается в воздухе, падает на ровную твёрдую поверхность (стол). Совокупность этих условий обозначают буквой S.
Совокупность элементарных событий в примере есть О или Р. Оба исхода случайны. Условия опыта S таковы, что появление исхода O исключает появление исхода Р и наоборот. Следовательно, элементарные исходы несовместны. Ясно, что и другой исход, кроме этих двух, невозможен (на ребро монета стать не может, это ничтожно маловероятный исход, а стать под некоторым углом на твёрдой поверхности и вовсе противоречит законам физики). Условия эксперимента позволяют заключить, что совокупность событий О и Р такова, что в результате эксперимента никакого другого события кроме этих двух появиться не может. Совокупность исходов О и Р обозначим через W - это полная группа
W = О + Р.
Понятно и то, что условия опыта S не дают оснований предполагать, что один из элементарных исходов O или Р более возможен, чем другой. Поэтому эти исходы О и Р равновозможны.
Элементарные события примера обладают тремя свойствами: они несовместны, образуют полную группу и равновозможны.
Определение. Элементарные исходы, обладающие тремя перечисленными свойствами, называют случаями.
Рассмотрим случай в эксперименте А = {выпадет O} и найдём его вероятность классическим методом.
Всего в эксперименте n = 2 случая. Для появления события ОО имеется всего один исход m = 1, вероятность появления случая ОО равна отношению m к n
Другой исход Р имеют такую же вероятность равную 1/2.
П р и м е р 2. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате проведения такого эксперимента имеется четыре элементарных исхода эксперимента ОО, ОР, РО, РР.
Все четыре элементарных исхода случайны. Очевидно, исходы попарно несовместны. Появление одного исключает появление какого-то другого. В результате опыта по подбрасыванию монет с условиями S ясно, что произойдёт только одно из четырёх событий. Другой исход, кроме этих четырёх, невозможен. Поэтому исходы образуют полную группу. Понятно и то, что условия опыта S, не дают оснований предполагать, что какое-либо одно из четырёх исходов предпочтительнее других. Поэтому эти исходы равновозможны.
Четыре исхода обладают тремя свойствами: несовместности, равновозможности и образуют полную группу, поэтому их можно назвать, согласно договоренности, случаями.
Рассмотрим случай в эксперименте А = {выпадет OО} и найдём его вероятность классическим методом.
Всего в эксперименте n = 4 случая. Для появления события ОО имеется всего один случай m = 1, вероятность появления случая ОО равна отношению m к n
Другие исходы ОР, РО, РР имеют такую же вероятность, равную 1/4.
П р и м е р 3. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 3 монет одновременно. Элементарным исходом будет какая-то одна комбинация из букв О или Р в трёх позициях. Условия эксперимента S те же, что и в примере 1 и 2. В пункте 1.1 было показано, что исходами эксперимента являются восемь следующих исходов:
OOO, OOP, OPO, OPP, POO, POP, PPO, PPP.
Восемь исходов случайны.
В результате опыта по подбрасыванию монет с условиями S ясно, что появление любого из восьми исходов исключает появление какого-то другого из оставшихся семи. Следовательно, они попарно несовместны и произойдёт только одно из восьми событий и никакого другого быть не может. Восемь исходов образуют полную группу элементарных исходов. Интуитивно понятно и то, что условия опыта S не дают оснований предполагать, что какое-либо одно из восьми исходов предпочтительнее других. Следовательно, эти исходы равновозможны.
Восемь элементарных исходов обладают тремя свойствами равновозможности, несовместности и образуют полную группу, поэтому их можно назвать, согласно договоренности, случаями эксперимента. В эксперименте по подбрасыванию трех монет имеется 8 случаев.
Рассмотрим событие в эксперименте А = {выпадет OОО} и найдём его вероятность классическим методом.
П р и м е р 4. Пусть в урне находятся 3 черных шара и 7 красных шаров. Пусть проводится эксперимент: из урны вынимаются последовательно два шара. В результате проведения такого эксперимента имеется четыре результата, которые и называются исходами этого эксперимента. Запишем их в виде совокупности буквенных символов ЧЧ, ЧК, КЧ, КК. Любой исход, например КК, будем считать элементарным для данного эксперимента по выниманию двух шаров из урны.
В этом эксперименте четыре исхода. Они образуют полную группу и несовместны. Однако интуитивно понятно, что эти четыре исхода не являются равновозможными. При многократном проведении эксперимента по вытаскиванию двух шаров комбинации будут появляться не одинаково часто. Эти элементарные исходы нельзя назвать случаями. Пространство состояний W эксперимента состоит из суммы элементарных исходов.
W = ЧЧ + ЧК + КЧ + КК.
Однако событие в этой задаче можно рассматривать как элементарный исход, а при изменении условий S может потребоваться разложить событие на произведение двух событий, которые и будут считаться элементарными.
Например, событие ЧЧ есть совмещение двух исходов Ч1 = {первый вынутый шар черный} и Ч2 = {второй вынутый шар черный}. Тогда ЧЧ есть совместное появление двух событий Ч1 и Ч2. Договорились, в таких случаях совместного появления двух событий рассматривать их совместное появление как произведение событий с помощью знака умножения, т.е. ЧЧ = Ч1 × Ч2.
1.2. Обобщение понятий на составные события
П р и м е р 1. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате проведения такого эксперимента имеется четыре элементарных исхода7 эксперимента ОО, ОР, РО, РР.
Пусть А = {OO+OP}; B = {PО+PP}.
События А и В случайны. Условия опыта S таковы, что появление события A исключает появление события В и наоборот. Следовательно, события несовместны. Никакое другое событие, кроме этих двух, невозможно. Условия эксперимента позволяют заключить, что совокупность событий А и В такова, что в результате эксперимента никакого другого события кроме этих двух появиться не может. Совокупность исходов А и В обозначим через W - это полная группа
W = А + В.
Понятно и то, что условия опыта S не дают оснований предполагать, что одно из событий А или В более возможно, чем другое. Поэтому эти исходы А и В равновозможны.
События А и В обладают тремя свойствами: они несовместны, образуют полную группу и равновозможны.
Определение. Любая пара событий A и B некоторого опыта называется несовместной, если появление одного события исключает появление другого события.
Или короче. События А и В называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в данном опыте.
Определение полной группы исходов можно распространить и на составные события, с одной оговоркой, что в результате эксперимента появляется хотя бы одно из них.
Определение. Полная группа событий эксперимента есть совокупность событий, когда в результате эксперимента появляется хотя бы одно из них (и никакого другого появиться не может).
Поясним примером. В примере с бросанием двух монет есть два события:
С = {OO+OP+РO}; D = {РО+PP}.
Эти события образуют полную группу, так как при исходах ОО или ОР происходит событие C, а при исходе РР происходит событие D. При исходе РО происходят одновременно два события - C и D.
Определение. События эксперимента называются равновозможными, если в результате проведения эксперимента нет оснований полагать, что одно событие более возможно (предпочтительно), чем другое.
События А и В - равновозможны; С и D - не равновозможны.
Определение. Событие называют элементарным, если его невозможно или нецелесообразно по условию задачи рассматривать как состоящее из других ещё более элементарных событий.
Докажем, что если события элементарные, то они и несовместные. Действительно, предположим противное тому, что утверждается, а именно, что какие-то два элементарных события А и В совместны, но тогда совместное появление А и В означает, что появляется исход, который входит в событие А и В, но А и В, как сказано, не могут содержать никаких других событий, так как они элементарны. Следовательно, предположение о совместности элементарных событий неверно.
События А и В в примере с бросанием двух монет можно считать элементарными событиями, которые несовместны, равновозможны и образуют полную группу.
Вероятность события А в этом примере равна 1/2, так как всего элементарных событий n = 2, а элементарное событие А одно m = 1.
Определение. События в эксперименте, обладающие тремя перечисленными свойствами, называют случаями.
П р и м е р 2. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. В этом примере 6 элементарных исходов: w1, w2, w3, w4, w5, w6. Исход wi означает, что в результате эксперимента выпало i очков. Они попарно несовместны равновозможны и образуют полную группу. Полная группа элементарных исходов называется пространством состояний эксперимента W. Например, исходы в количестве 5: w1 , w2, w3, w4, w5 - не образуют полной группы, так как в результате эксперимента может появиться w6 .
Пусть:
А = {выпадение 4 очков};
B = {выпадение 3 очков};
С = {выпадение четного числа очков};
D = {выпадение нечетного числа очков};
Е = {выпадение не менее 4 очков}.
Очевидно, что события А и В − несовместные; А и С − совместные; В и Е − несовместные; А и С - совместные; В и D − совместные.
События F = w1 + w2, G = w3 + w4, H = w5 + w6 являются случаями, потому что образуют полную группу Ω = F + G + H; попарно несовместны F ⋂ G ⋂ = ⌀, F ⋂ H = ⌀; G ⋂ H = ⌀ и равновозможны. Здесь ⌀ - невозможное событие.
1.3. Способ вычисления вероятности события
Термин ‹‹вероятность›› относится к первичным понятиям математики, поэтому смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах. Это нестрогое введение, но в дальнейшем его смысл мы будем уточнять и дополнять. В пункте 5.4 дадим аксиоматическое определение вероятности, математически строгое по современным меркам.
Буква Р(А) обозначает вероятность некоторого события А. Это обозначение произошло от английского и французского слов probability - возможность, вероятность. За единицу измерения вероятности случайных событий принята 1. Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события принята за 0.
П р и м е р 1. Рассмотрим событие в эксперименте по подбрасыванию монеты W = {O или Р}.
При подбрасывании монеты событие W произойдёт со стопроцентной вероятностью, так как обязательно выпадет либо О, либо Р. Присвоим достоверному событию W вероятность, равную 1, и будем писать
Р(W) = 1.
Пусть В = {монета выпадет ребром}, это невозможное событие В = ⌀, тогда
Р(В) = 0.
Двум другим случайным исходам: О и Р в силу того, что они образуют полную группу, равновозможны и несовместны, разумно приписать вероятность, равную по 1/2:
Р(О) = 1/2 и Р(P) = 1/2.
Другими словами, можно сказать так. Всего в эксперименте два n = 2 исхода, они образуют полную группу (в результате проведения эксперимента не может появиться никакого события кроме ‹‹орла›› или ‹‹решки››) и равновозможны (нет оснований полагать, что событие O более или менее предпочтительно, чем событие Р) и несовместны (одновременно О и Р выпасть не могут). Для появления события О имеется всего один исход m = 1 (при другом исходе появляется Р), поэтому разумно определить вероятность появления О как отношение m к n
Аналогично, вероятность Р события выпадения ‹‹решки›› Р определится точно так же, отношением 1/2.
П р и м е р 2. Если бросаем две монеты одновременно, то имеется четыре возможности, ОО, ОР, РО, РР и их количество обозначается через n = 4.
Рассмотрим событие эксперимента А, которое состоит в том, что в результате проведения эксперимента выпадет не менее одного ‹‹орла››.
А = {появится не менее одного орла}.
Событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из элементарных событий: либо ОО, либо ОР, либо РО. Говорят, что эти исходы благоприятствуют появлению события А . Мы договорились считать, что событие А состоит из суммы трёх элементарных исходов
А = ОР + РО + ОО.
Элементарные исходы ОО, ОР, РО входят в составное событие А.
Термины ‹‹количество исходов, в результате которых появляется событие А››, и ‹‹количество исходов благоприятствующих появлению события А››, тождественны.
Когда далее в тексте будет появляться термин ‹‹событие››, то специально не оговаривается, что под ним понимают либо элементарный исход, либо составное событие. Это должно быть ясно из контекста.
П р и м е р 3. Рассмотрим эксперимент с двумя монетами. Найти вероятность события Е = OO + OP.
Р е ш е н и е. Четыре элементарных исхода ОО, ОР, РО, РР образуют полную группу, равновозможны и несовместны. Событию Е благоприятствуют 2 случая ОО и ОР. Всего случаев 4. Поэтому Р(Е) = 2/4 = 1/2.
П р и м е р 4. Рассмотрим тот же эксперимент с двумя монетами. Найти вероятность события Е = OO + OP.
Решим другим способом. Рассмотрим два события
Е = OO + OP, F = PO + PP.
Эти события образуют полную группу: E + F = W .
События Е и F несовместны и равновозможны, образуют полную группу т. е. Е и F можно считать элементарными случаями. Всего есть 2 случая Е и F. Поэтому Р(Е) = 1/2.
Замечание. Из сравнения решения примера 2 и 3 видно, что для вычисления вероятности некоторого события А в эксперименте классическим способом надо пространство состояний эксперимента разбить на элементарные события (или исходы), обладающие тремя свойствами: несовместности, равновозможности, и которые образуют полную группу, количество которых обозначается через n. Эти события назовем случаями. Затем следует подсчитать количество m случаев, благоприятствующих событию А, и найти отношение m к n.
Классически вероятность элементарного исхода определяется следующим образом:
Определение. Вероятностью события А при проведении эксперимента S называют дробное число Р, равное отношению количества исходов, в результате которого появляется событие А, к общему числу всех несовместных, равновозможных и образующих полную группу элементарных исходов этого эксперимента.
Замечание. Термин ‹‹исход›› можно заменить термином ‹‹элементарное событие››.
Мы договорились ранее, что для сокращения слов соблюдать и специально не оговаривать следующую договорённость: если элементарные исходы (события) эксперимента S образуют полную группу, несовместны и равновозможны, то называть исходы будем ‹‹случаями››.
Если учесть эту договоренность, то определение вероятности для события А можно сформулировать короче.
Определение. Вероятностью события А в эксперименте S называют дробное число Р, равное отношению количества случаев, благоприятствующих А, к общему числу всех случаев этого эксперимента.
Если нет случаев, благоприятствующих событию А, т.е. m = 0, то такое событие будет невозможным и обозначается Æ. Вероятность невозможного события Æ равна нулю:
Р(Æ) = 0/n = 0.
Если событию А благоприятствуют все случаи, т.е. m = n, то такое событие будет достоверным и обозначается W. Вероятность достоверного события равна единице
Р(W) = n/n = 1 .
П р и м е р 4. Бросают четыре монеты. Следует поставить вопросы и найти ответы, используя для образования составного события слова «хотя бы...», «не менее...», «только...», «не более...». Вычислить вероятности составных событий.
Замечание. Термин «не менее...» эквивалентен «более или равно...», термин «не более…», эквивалентен «менее или равно...».