Эту задачу мне прислал один из подписчиков. Не знаю, откуда он её взял, но в своё время я видел эту (или очень похожую) задачу на олимпиаде по математике. И тогда она вынесла всех или почти всех. Короче говоря, мало кто её решил, так что задача весьма сложная.
В некоторый момент времени часы показывают на 2 минуты меньше, хотя и идут быстрее, чем нужно. Если бы они показывали на 3 минуты меньше, но уходили бы в сутки на полминуты больше, чем уходят, то верное время они показали бы на сутки раньше, чем покажут. На сколько минут в сутки уходят эти часы?
Половиной успеха будет, если вы сможете разобраться в условии. Решение непростое, так что начну его рассказывать сразу после картинки — не спешите листать, если хотите подумать самостоятельно.
Решение
Давайте сначала введём много обозначений, а потом посмотрим, что из этого нам пригодится. Вы только не пугайтесь, это лишь выглядит страшно. На самом деле что-то нам не понадобится, что-то упростится, а что-то нам известно.
V₁ — скорость, с которой сейчас идут часы, [мин/сут];
V₂ — скорость, с которой шли бы часы, если бы спешили ещё на полминуты больше, чем сейчас, [мин/сут];
V — нормальная скорость исправных часов, [мин/сут]. Мы знаем эту величину, но об это позже.
T₁ — время, через которое часы, о которых идет речь в задаче, покажут правильное время, [сутки];
T₂ — время, через которое часы, спешащие на полминуты больше, чем те, о которых идет речь в задаче, покажут правильное время, [сутки];
x — искомая разница, число минут, на которое спешат часы, [минуты].
Составляем уравнения
Теперь давайте составлять уравнения.
Через время T₁ часы, о которых идет речь в задаче, покажут верное время. И правильные часы через время T₁ по-прежнему будут показывать правильное время (они вообще всегда показывают верное время). Но сейчас спешащие часы показывают на 2 минуты меньше, чем правильные. Это можно записать уравнением V₁•T₁=V•T₁+2.
Аналогичные рассуждения для часов, которые спешили бы ещё на полминуты больше, приводят к аналогичному уравнению: V₂•T₂=V•T₂+3.
Ещё из условия нам известно, что T₁-T₂=1.
А искомые минуты, на которые спешат часы, это ничто иное как х=V₁-V.
Теперь всё это можно объединить в систему уравнений (смотри красную систему на картинке ниже) и начать упрощать. А упростить там есть что.
Во-первых, T₂ можно выразить через T₁: T₂=T₁-1. Во-вторых, V₂ можно выразить через V₁: V₂=V₁+0,5.
В-третьих, можно вычислить V. Так как в сутках 24 часа, а в часе 60 минут, значит, в сутках 1440 минут, то есть правильные часы идут со скоростью V=1440 мин/сут. Делаем все эти упрощения и получаем другую систему (написана чёрным на картинке ниже).
Третье уравнение можно отбросить, оно нам больше не нужно. Четвертое используем в самом конце, пока что оно нам тоже не нужно. В результате получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решаем её и получаем T₁. Потом V₁.
Теперь найти ответ не составляем никакого труда: х=V₁-1440=1440,5-1440=0,5. То есть часы спешат на полминуты. Вот такая задачка. Смогли решить?
Не забывайте ставить лайк и подписываться на меня в соцсетях (ссылки в описании канала). На Ютубе у меня, например, есть видео "Вся математика 5 класса за 2 часа" — будет полезно тем, кто на дистанционке. Помогите этому видео набрать 5 тысяч лайков и тогда я запишу аналогичное видео для 6 класса. А вот ещё интересные задачки, если хочется порешать: