Задачи под номером 14 из первой тестовой части ОГЭ довольно просты. Но если применить неправильный подход к решению, то можно потерять очень много драгоценного времени на экзамене.
Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:
- для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
- это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
- для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.
Это числовая последовательность. Первый элемент равен 7, второй - 10, третий -13, четвертый -16... и как не сложно догадаться пятым элементом будет число 19. Т.е. каждый последующий элемент на 3 больше предыдущего.
Числовая последовательность, при которой каждое следующее число в ряду больше или меньше на одно и то же значение, называется арифметической прогрессией.
Значит пример, приведенный выше, является арифметической прогрессией.
Для арифметической прогрессии существуют следующие закономерности:
1)
2)
Все эти формулы можно найти в справочном материале.
Разберем несколько основных заданий из открытого банка заданий:
ЗАДАЧА №1
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем
на 4 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду
амфитеатра?
Задачу можно решить и без всяких формул {в первом ряду 20 мест, через 9 рядов на 10-ом будет на 4∙9 мест больше,т.е. 20+36=56} . Но, для тренировки, применим формулы арифметической прогрессии:
ЗАДАЧА №2
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6°C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7°C.
Здесь тоже приведу два решения. Через рассуждение (слева) и через формулы (справа).
*частая ошибка, когда при поиске через формулы берут в расчет a₄
ЗАДАЧА №3
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем
на 4 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Если учесть, что в этой задаче нужно найти суммарное количество мест, то расчеты без формул могут сильно затянуться :(
ЗАДАЧА №4
В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 19 квадратных столиков вдоль одной линии?
В этой задаче расчет через рассуждения самый простой (слева в решении). Если сдвинуть 19 столов, то по одной стороне могут сесть 19 человек, по другой тоже 19. И еще по одному человеку по двум другим сторонам... Но можно найти и по формулам (справа). Оба способа рассмотрены ниже.
ЗАДАЧА №5
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 160.
Эта задача самая интересная. Ломаная состоит из отрезков. Проследим закономерность длин этих отрезков: 1и1, 2и2,3и3...10и10...
Значит суммарная длина всей ломаной будет состоять из двух одинаковых сумм 1+2+3+...+10+...160. А это сумма арифметической прогрессии состоящей из натуральных чисел от 1 до 160.
А вот вам задание для самостоятельного решения (из сборника Ященко):
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он
пролетает 6 метров, а в каждую следующую секунду на 11 метров больше,чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?
Всем успешной подготовки :)
Продолжение следует...