Задача "В круговой сектор вписан круг..."

В круговой сектор, радиус которого равен R, а центральный угол составляет 60°, вписан круг. Найдите площадь этого круга.

Доброго времени суток, дорогие друзья!

Даю онлайн-консультации по математике при подготовке к ЕГЭ, ОГЭ, ВПР и домашних заданий из учебников. Самые интересные из них выкладываю на своём канале.

Сегодня задачу прислали из этого учебника, номер 276. Автора учебника, к сожалению, не знаю.

Построим чертеж, введём обозначения и запишем условие задачи кратко.

Дано: ABC- круговой сектор. АВ = ВС= R. Угол АВС = 60°.

В круговой сектор АВС вписан круг. М, N и D - точки касания.

Как вписать круг в круговой сектор? Построим биссектрису угла АВС и разделим ее на три равные части. Центр вписанной окружности лежит в точке, которая делит биссектрису в отношении 2:1

Решение: Найдем площадь вписанного круга по формуле S=π r². Для этого надо знать радиус круга.

Проведём радиусы ОМ и О N в точки касания. По свойству касательной к окружности радиус ОМ перпендикулярен касательной ВС.

Если ВС и ВА касательные к кругу, проведенные из точки В, то отрезки касательных ВМ и ВN равны. По этому же свойству углы NВО и ОВМ тоже равны. Так как по условию помним,что угол АВС равен 60°, то углы NВО и ОВМ равны по 30°.

Рассмотрим треугольник ОВМ.

В нём угол М равен 90°, а угол В=30° по доказанному выше.

В прямоугольном треугольнике, катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

Значит, ВО=2ОМ.

Так как МО и ОD равны как радиусы круга, то

ВD=ВО+ОD= 2OM+ OM=3OM

A если ВD=ВА=ВС=R, то 3 ОМ= R или ОМ=1/3R

Найдем площадь вписанного круга по формуле S=πr², где r - радиус вписанного круга.

Зная, что r=OM=1/3R, найдём S.

S=π•(1/3R)²=1/9πR²

Ответ: 1/9 πR²

Вот такая не совсем простая задача.

Дорогие ученики! Успехов вам в решении задач!

Почитать другие статьи и подписаться на канал можно здесь.

С вами автор канала Любовь.