Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу предложить вам потренировать свою геометрическую и аналитическую интуицию. Для это представьте такую картину:
Пояснения: имеем единичную окружность, вокруг которого описан равносторонний треугольник, вокруг которого описана окружность, вписанная в квадрат, который является вписанным в окружность, которая вписана в пятиугольник.... и так до бесконечности.
Нужно ответить всего лишь на один вопрос: будет ли эта фигура ограничена?
Вспоминаем школьную геометрию
Прежде всего, необходимо вспомнить кое-что о том, как относятся между собой площади описанных и вписанных окружностей относительно различных n-угольников. Формулы общеизвестны, поэтому просто найдем отношение:
Кстати, величина обратная косинусу - это вполне себе употребляемый в математике секанс - отношение гипотенузы к противолежащему катету:
Мы тоже будем его использовать для удобства. Если нам известно отношение радиусов окружностей, мы можем представить площадь n-ной описанной окружности в виде произведения:
В математике часто так бывает: видишь бесконечное произведение - незамедлительно логарифмируй и получай сумму. Здесь именно такой случай:
Что нам это даёт? Я как-то рассказывал, что для таких рядов можно найти ряд его мажорирующий, то есть не строго говоря, на каждом из шагов большем. Если окажется, что такой ряд ограничен, то и исходный ряд так же будет ограничен.
Для ряда, который выражает площадь нашей фигуры, таким будет ряд:
А это известный ряд обратных квадратов, который был найден при решении т.н. "базельской задачи" Леонардом Эйлером.
Поэтому смело можно утверждать, что площадь нашей бесконечной фигуры ограничена, как минимум, следующей величиной:
Вот такое парадоксальное суждение у нас получилось! Ничего страшного, бесконечность еще не и не такие "коленца" выкидывает. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас. На канале есть статьи на любой вкус!