Самое красивое и понятное доказательство факта, который перевернул математику. Число √ 2

Кстати, его первооткрывателя - Гиппаса - по легенде выбросили за борт корабля фанатичные последователи Пифагора

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам про очень красивое и наглядное доказательство удивительного факта, который оказал громадное влияние на всю математику. Речь пойдёт о доказательстве иррациональности числа √2 - первого в своём роде.

О том, почему это число - одно из самых важных в истории человечества, я уже писал раньше. Предлагаю желающим ознакомиться с материалом по ссылке:

Напоминаю, что в древней Греции, особенно у последователей Пифагора, в почёте были натуральные числа и дроби, которые можно из них составить.

Однако позже оказалось, что диагональ квадрата со стороной 1 никак не получается выразить рациональной дробью.

Гиппас из Метапонта - тот самый злосчастный спорщик, увидевший, что с корнем из 2 что-то не так. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/Ippaso_di_Metaponto.jpg

Древние математики понимали, что здесь скрыта несколько другая числовая сущность и предприняли усилия, чтобы доказать "особенность" числа √2. Первым, кто доказал иррациональность √2, был Платон.

Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/4211925/pub_60c8f2d7803aeb61fa216790_60c8f44a53530700cd7157af/scale_1200

Его доказательство тоже простое, но менее наглядное, чем то, которое я Вам представлю сейчас.

Итак, пусть у нас имеется квадрат со стороной m. Если число √2 - рациональная дробь, то его можно разделить на два одинаковых квадрата:

Алгебраически это выглядит следующим образом:

Теперь очень важный момент, предваряющий классический метод доказательства с помощью "бесконечного спуска":

предположим, что мы нашли минимальные m и n, отношение которых равняется √2.

Теперь возьмем два наших квадратика со стороной n и вложим их в исходный квадрат следующим образом:

Естественно, что площадь заштрихованного красным квадрата, равна сумме площадей синих квадратиков (ведь два квадрата со стороной n и так по площади занимают весь квадрат со стороной m).

Проведя нехитрые вычисления, получим, что:

Что же мы получили? А то, что мы получили выражение корня из 2 как новой рациональной дроби, у которой числитель и знаменатель - целые числа, меньшие m и n, соответственно.

Таким образом, мы пришли к противоречию, что первоначальные значения m и n - минимальные, значит и исходная посылка об рациональности числа √2 - неверная. На этом доказательство окончено: √2 - иррациональное ("неподвластное разуму") число.

С течением времени, математики всё больше и больше работали с иррациональными числами, но лишь в 19 веке всё-таки удалось раскрыть их истинную сущность и построить строгую аксиоматику. Сделал это открытие Рихард Дедекинд. Читайте о нём в материале:

• Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас. На канале есть статьи на любой вкус!
• TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.