Кстати, его первооткрывателя - Гиппаса - по легенде выбросили за борт корабля фанатичные последователи Пифагора
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам про очень красивое и наглядное доказательство удивительного факта, который оказал громадное влияние на всю математику. Речь пойдёт о доказательстве иррациональности числа √2 - первого в своём роде.
О том, почему это число - одно из самых важных в истории человечества, я уже писал раньше. Предлагаю желающим ознакомиться с материалом по ссылке:
Напоминаю, что в древней Греции, особенно у последователей Пифагора, в почёте были натуральные числа и дроби, которые можно из них составить.
Однако позже оказалось, что диагональ квадрата со стороной 1 никак не получается выразить рациональной дробью.
Древние математики понимали, что здесь скрыта несколько другая числовая сущность и предприняли усилия, чтобы доказать "особенность" числа √2. Первым, кто доказал иррациональность √2, был Платон.
Его доказательство тоже простое, но менее наглядное, чем то, которое я Вам представлю сейчас.
Итак, пусть у нас имеется квадрат со стороной m. Если число √2 - рациональная дробь, то его можно разделить на два одинаковых квадрата:
Алгебраически это выглядит следующим образом:
Теперь очень важный момент, предваряющий классический метод доказательства с помощью "бесконечного спуска":
предположим, что мы нашли минимальные m и n, отношение которых равняется √2.
Теперь возьмем два наших квадратика со стороной n и вложим их в исходный квадрат следующим образом:
Естественно, что площадь заштрихованного красным квадрата, равна сумме площадей синих квадратиков (ведь два квадрата со стороной n и так по площади занимают весь квадрат со стороной m).
Проведя нехитрые вычисления, получим, что:
Что же мы получили? А то, что мы получили выражение корня из 2 как новой рациональной дроби, у которой числитель и знаменатель - целые числа, меньшие m и n, соответственно.
Таким образом, мы пришли к противоречию, что первоначальные значения m и n - минимальные, значит и исходная посылка об рациональности числа √2 - неверная. На этом доказательство окончено: √2 - иррациональное ("неподвластное разуму") число.
С течением времени, математики всё больше и больше работали с иррациональными числами, но лишь в 19 веке всё-таки удалось раскрыть их истинную сущность и построить строгую аксиоматику. Сделал это открытие Рихард Дедекинд. Читайте о нём в материале:
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас. На канале есть статьи на любой вкус!