Как затащить ребёнка на горку: устойчивость и моменты сил

Под каким углом к горке надо встать, чтобы подтянуться за веревку? Рассчитываем по школьным формулам!

Здравствуйте, друзья! Идет зима, а зимой дети любят кататься на горке и саночки возить. Аж холодно смотреть, как ребятишки, взбираются на крутые горки, барахтаются в снегу. Мой сынок не ищет легких путей, не хочет идти в обход по лестнице, и всегда пытается взобраться на самую крутую горку. Недавно мы катались на одной из популярных лесных горок в парке, было несколько детишек с мамами и папами. Многие из детишек справлялись с подъёмом, а мой все время соскальзывал и падал. Один из пап, стоящих сверху, решил помочь и кинул верёвку от санок - хватайся, мол. Сын схватился, держится крепко, но все равно не смог подняться. Тогда этот папа сказал:

Отклонись спиной назад, не стой вертикально.

Ребенок так и сделал, и у него получилось подняться наверх.

Я как физик, конечно, сразу заинтересовалась эффектом, решила его изучить. Как мать я стояла в сторонке, и пока нет реальной опасности, бросаться тянуть ребенка мне не хотелось, он всё-таки тяжелый. На горке мужики разобрались без меня, выбрали нужный угол и решили проблему. А я буду решать эту проблему дома теоретически, в тепле, с тетрадочкой и формулами.

Почему тело, стоящее на горке вертикально, падает? Казалось бы, есть сила натяжения веревки... Дело все в том, что, несмотря на то, что силы скомпенсированы, суммарный момент сил не равен нулю - момент силы натяжения веревки ничем не скомпенсирован. Трение, даже если оно есть, не может удержать ребенка от падения, поскольку его момент относительно точки закрепления равен нулю.

Силы, действующие на тело в двух случаях - когда тело стоит вертикально, и когда тело отклоняется на некоторый угол от нормали к плоскости.

Чтобы скомпенсировать вращающее действие веревки, необходимо, чтобы сила тяжести вращала тело в обратном направлении. Если тело стоит вертикально, этого не происходит. Парадоксально, но чтобы не упасть на горке, надо именно начать падать и зафиксироваться под нужным углом. Рассчитаем, чему будет равен этот угол, назовем его β.

Напишем условие равновесия для наклоненного тела на горке, спроецируем силы на оси:

Силы и их проекции на оси. Трением пренебрежем для простоты.

Запишем моменты сил относительно точки, в которой тело касается горки:

Сила натяжения нити вращает по часовой стрелке, сила тяжести - против часовой стрелки.

Из системы уравнений для сил выражаем силу реакции опоры N и силу натяжения веревки T:

Выразили все неизвестные силы через силу тяжести.

Чтобы тело было устойчивым, моменты сил должны компенсировать друг друга. Приравниваем моменты сил:

Приравняли моменты и подставили выражение для T.

Теперь сократим все лишнее и получим ответ.

Итак, условие равенства моментов выполняется при нулевом угле, то есть строго перпендикулярно наклонной плоскости. Или если горка полностью отвесная, но этот случай нас не интересует.

Наверняка альпинисты, поднимающиеся в горы с веревками, тоже используют условие равновесия, интуитивно подбирая нужный угол. Как-то так:

Рисунок на основе фотографии из интернета

На этом заканчиваю статью. Желаю родителям и детям приятных зимних забав, альпинистам - успехов в спорте, и всем читателям - вдохновения от науки!