Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня в коротенькой заметке я расскажу Вам (а кому-то напомню) один замечательный метод взятия производной, который работает тогда, когда все другие методы бессильны или сложности вычисления становятся запредельными.
Пусть он и применим к ограниченному классу функций, но его "изюминку" трудно отрицать.
Речь идёт о степенно-показательных функциях. Что же это за зверь? Здесь всё просто - это такая функция, в которой и показатель и степень являются функциями! Например:
Кажется, что ничего сложного быть не должно, ведь и для степенных и показательных функций в отдельности хороши классические способы вычисления производной. Однако, для их смеси нужен новый инструмент!
Таким инструментом и выступает логарифмическое дифференцирование. Давайте я расскажу его основную идею.
Провели необходимые обозначения и теперь найдем логарифм левой и правой части, а потом и производную по отдельности:
Напомню, что здесь мы в обоих случаях применяем правило взять производной сложной функции, известное еще с 10-го класса:
Применяем вторую строку, не забываем. что производная логарифма равняется 1/y. Теперь внимательно вглядываемся в полученный результат!
Бааа...да мы провернули незабвенный трюк Мюнхгаузена и получили как составляющую формулу нашу исходную функцию, благодаря чему делаем простую замену и получаем итоговую формулу:
"Трюк" показан стрелкой
Теперь давайте применим нашу формулу для нахождения какой-нибудь задачки:
Удобно сначала подговорить "фундамент" для последующих вычислений. а потом просто подставить в формулу:
Кстати, а производные каких еще функций удобно вычислять с помощью логарифмического дифференцирования?
Пишите в комментариях, а более сложные случаи я рассмотрю в формате коротких постов. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.