Найти тему
Математика не для всех

Есть только один способ как вычислить эту производную. Возможно, Вы его встречали

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня в коротенькой заметке я расскажу Вам (а кому-то напомню) один замечательный метод взятия производной, который работает тогда, когда все другие методы бессильны или сложности вычисления становятся запредельными.

Пусть он и применим к ограниченному классу функций, но его "изюминку" трудно отрицать.

Источник: https://cs13.pikabu.ru/post_img/2019/05/14/12/og_og_1557864746264334207.jpg
Источник: https://cs13.pikabu.ru/post_img/2019/05/14/12/og_og_1557864746264334207.jpg

Речь идёт о степенно-показательных функциях. Что же это за зверь? Здесь всё просто - это такая функция, в которой и показатель и степень являются функциями! Например:

-2

Кажется, что ничего сложного быть не должно, ведь и для степенных и показательных функций в отдельности хороши классические способы вычисления производной. Однако, для их смеси нужен новый инструмент!

Таким инструментом и выступает логарифмическое дифференцирование. Давайте я расскажу его основную идею.

-3

Провели необходимые обозначения и теперь найдем логарифм левой и правой части, а потом и производную по отдельности:

-4

Напомню, что здесь мы в обоих случаях применяем правило взять производной сложной функции, известное еще с 10-го класса:

Источник: https://cf.ppt-online.org/files/slide/u/U9W0Ds1lRCGBLn5mZfcbjiyKVeq4SJk3Q6HYxr/slide-4.jpg
Источник: https://cf.ppt-online.org/files/slide/u/U9W0Ds1lRCGBLn5mZfcbjiyKVeq4SJk3Q6HYxr/slide-4.jpg

Применяем вторую строку, не забываем. что производная логарифма равняется 1/y. Теперь внимательно вглядываемся в полученный результат!

Бааа...да мы провернули незабвенный трюк Мюнхгаузена и получили как составляющую формулу нашу исходную функцию, благодаря чему делаем простую замену и получаем итоговую формулу:

-6
"Трюк" показан стрелкой

Теперь давайте применим нашу формулу для нахождения какой-нибудь задачки:

-7

Удобно сначала подговорить "фундамент" для последующих вычислений. а потом просто подставить в формулу:

-8
Кстати, а производные каких еще функций удобно вычислять с помощью логарифмического дифференцирования?

Пишите в комментариях, а более сложные случаи я рассмотрю в формате коротких постов. Спасибо за внимание!

  • Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.
  • TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.