В #геометрии существует огромное множество #интересных задач с окружностями. Решим одну из них.
Условие:
#Окружность разделена на три части, которые относятся между собой как 5:6:7, и через точки деления проведены касательные. Определить углы треугольника, образованного этими касательными.
Исходя из того, что вся окружность имеет угол 360°, вычислим углы между радиусами, проведенными из центра окружности О в точки деления.
Обозначим единичный угол за х. Тогда:
5х + 6х + 7х =360
18х = 360
х = 20
Имеем:
Теперь рассмотри треугольники, общей вершиной для которых является А, и докажем, что они равны. Итак, ∆AOF, равно как и ∆AOD являются прямоугольными, так как касательная к окружности образует с радиусом, проведенным к точке касания, прямой угол.
Гипотенуза у этих треугольников общая - АО. Катеты OF и OD равны R - радиус окружности. Тогда
Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого #треугольника, то эти треугольники равны. Как раз наш случай: ∆AOF = ∆AOD.
Отрезок АО делит угол FOD пополам, следовательно
Принимая во внимание, что сумма углов треугольника равна 180° находим :
Аналогичным образом находим два других угла треугольника АВС.
В результате мы нашли все три угла треугольника АВС, то есть решили задачу. Сформулируем ответ:
Углы треугольника, образованного касательными, равны соответственно 80°, 60° и 40°.
Проверим, не противоречит ли наш результат теореме о том, что сумма углов любого треугольника равна 180°:
80 + 60 + 40 = 180
Всё четко!
#математика #геометрия #это интересно #полезно для мозга
#образование