Очередной зубодробительный парадокс из бесконечного мира
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Про парадоксы, возникающие в математике по причине использования бесконечностей уже даже на моём канале сказано очень много: здесь гостили и парадокс бесконечного отеля и апории Зенона, и другие "каверзные" утверждения, касающиеся, например, равномощных множеств...
Сегодня я хочу развить тему и показать Вам на примере простой задачи, какие парадоксальные выводы позволяет делать математика на основе своих допущений. Обратите внимание, что я здесь не критикую бесконечность: лично мне эта тема очень близка и нравится, видится некоей путеводной звездой, на маршруте в сторону которой, скрыто еще множество тайн. Так что давайте просто насладимся.
В статье не будет никаких заумных вещей, всё интуитивно понятно. Поехали!
Итак, представьте бесконечную башню из шаров, стоящих один на другом, радиусы которых заданы следующим образом:
Наша задача состоит в том, чтобы вычислить:
- высоту башни;
- площадь поверхности башни;
- объём башни.
Часть 1. Высота
Здесь всё достаточно прозрачно, общая высота равняется сумме диаметров шаров, которую мы можем записать следующим образом:
Что мы можем сказать об сумме некоторого числа членов данного ряда? Для конечного числа всё просто: забиваем в калькулятор и, например, для n=100 получаем 18.589, для n=1000 - 61.8 , для n = 10000 - 198.4.
Интуитивный вывод, который можно сделать: ряд растёт, хоть и не так быстро, но упорно,. В математике эту вербальную конструкцию принято определять как "расходящийся ряд", сумма ряда в таком случае равна бесконечности.
Это может показаться странным, ведь при большем и большем n каждый следующий элемент ряда стремится к нулю, однако не будем здесь дискутировать по поводу строгого доказательства расходимости этого ряда, это станет понятно дальше.
Высота башни равняется бесконечности, т.е. ничем не ограничена, поэтому материалов на её постройку у нас не хватит. Едем дальше.
Часть 2. Площадь поверхности
Всё так же используем школьную формулу для площади поверхности и записываем ряд (считаем, что шары касаются друг друг противоположными полюсами, т.е. в одной точке):
О, да это же наш старый знакомый - гармонический ряд, самое лучшее и понятно доказательство расходимости которого принадлежит французу Николаю Орему.
Для этого он всего лишь показал, что сумма гармонического ряда больше, чем сумма заведомо расходящегося ряда. За "образец" Орем взял ряд 1+1/2+1/2+1/2+... - я думаю интуитивно понятно, что его сумма равна бесконечности:
Гармонический мир победил, он оказался сильней...о-о-оооо мои полиномы...
А теперь вернемся к ряду, который получился при измерении длины. Очевидно, что каждый его элемент под номером n еще больше, чем у гармонического:
В таком случае говорят, что первый ряд мажорирует второй. Раз он мажорирует ряд с бесконечной суммой, то и сам в сумме равен бесконечности.
Отсюда делаем вывод, что площадь поверхности башни же бесконечна. Не хватит у нас краски, чтобы покрасить то, что мы и так не можем построить....
Часть 3. Объём
Мы подходим к самому интересному, и, наконец-то, парадоксальному. Попробуем посчитать объем нашей башни:
А вот эта штука уже сходится!. Сумму этого ряда можно вычислить: она примерно равна 10.9 !
Таким образом, наша башня имеет бесконечную длину, бесконечную площадь и конечный объём! А нам теперь жить с этим. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.