Все эти слова восходят к общей основе «мьрзъ», первоначальное значение которой - «холодный». Это родство прослеживается во многих славянских языках.
Рус., укр., блр. - мороз, ст.-слав. мразъ, сербохорв. мрȁз, чеш. mráz, польск. mróz. Сюда же М.Фасмер относит родственные из алб. mardhem «мерзну», mardhë «гусиная кожа», marth «мороз».
Слово мерзкий образовано от прилагательного мьрзъ, имевшего значение «холодный». Значение «отвратительный» развилось со временем по аналогии: холодный — значит неприятный. Аналогичным образом, по мнению, лингвистов, негативное значение закрепилось за словом мразь.
Вот как описывает этот процесс Л.В.Успенский:
«Мерзкий», по-видимому, и значило вначале «отвратительный до озноба».
И приводит для аналогии такую пару тесно связанных слов, как «стыд» и «стынуть».
Язык отмечает и тут и там очень тонкие проявления чувств: нечто очень отвратительное может вызвать такую же внутреннюю дрожь, легкий озноб, как и холод.
Интересно, что в других славянских языках происходило похожее переосмысление. Сравните: сербохорв. мр̏зак, мр̏зка «противный, -ая», словен. mŕzǝk, mŕzkа «отвратительный, -ая», чеш., слвц. mrzký «скверный, гадкий».
И так же, как со словом стынуть: чеш. ostuditi означает «возбудить отвращение» (см. студи́ть, стыд), нов.-в.-н. Schauder «дрожь, озноб; ужас, отвращение».
С неприятным ощущением от холода связано и происхождение слова сморозить, сообщают этимологические словари. Буквально это означало «заморозить, заставить кого-либо замереть от сказанных неумных слов».
А вот известное многим англо- и франкофилам morose (фр., англ.) в значении «угрюмый, мрачный» никакого отношения к славянскому морозу не имеет, хотя сегодня воспринимается почти как транслитерация, и по смыслу похоже (особенно, если знать, что во фр. sever – «суровый», тоже похоже на наш север - с весьма суровым климатом).
Согласно этимологическим словарям, в романских языках это слово восходит к лат. morosus «моральный», а то в свою очередь произошло от mos (род.п. moris) в значении «нрав, обычай».
Ср. знаменитое цицероновское «O tempora, о mores!» - «О времена, о нравы!»