Основной темой таких фокусов является угадывание задуманных чисел или результатов действия над ними. Весь "секрет" этих фокусов в том, что "отгадчик" знает и умеет использовать особые свойства чисел, а "задумывающий" эти свойства не знает.
Математический интерес каждого фокуса и заключается в "разоблачении" его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольны просты, но иногда бывают хитро замаскированы.
Первый фокус
Предложите кому-нибудь задумать какое-либо число. Затем заставьте его несколько раз поочередно умножать и делить задуманное им число на различные, произвольно вами назначаемые числа. Результат действий пусть он вам не сообщает.
После нескольких умножений и делений остановитесь и предложите задумавшему число разделить полученный им результат на то число, которое он задумал. Затем прибавить к последнему частному задуманное число и сказать вам результат. По этому числу вы можете сразу угадать задуманное число.
Секрет очень прост. Угадывающему самому тоже надо задумать произвольное число (например, 1) и проделывать над ним все назначаемые им умножения и деления вплоть до деления на первоначально задуманное число. Тогда в частном у него получится то же самое число, что и у другого задумавшего, хотя первоначально задуманные числа и были у них различными. После этого угадывающему надо вычесть из сообщенного ему результата свой результат. Разность и будет искомым числом.
Пример. Задумано число 7. Умножено на 12. Результат (84) разделен на 2. Полученное число (42) умножено на 5. Результат (210) разделен на 3. Получилось 70, а после деления на задуманное число и прибавления задуманного числа - 17.
Одновременно вы "про себя" задумали число 1. Умножаете на 12, получается 12. Делите на 2, получается 6. Умножаете на 5, получается 30. Делите на 3, получается 10. Вычитая 10 из 17, получается искомое число 7.
Замечание 1. Для усиления эффекта вы можете предоставить возможность самому задумавшему число назначать числа, на которые ему хотелось бы умножать и делить получающиеся результаты, лишь бы он каждый раз сообщал вам эти числа.
Замечание 2. Не обязательно чередовать умножения и деления. Можно сначала назначить несколько умножений, а затем несколько делений, или наоборот.
Доказательство: Пусть задумано число - n, а вы задумали число - p. Произведя с тем и другим числом ряд одинаковых умножений и делений получаем результаты такого вида:
Оба эти результата, разделенные первый на n, а второй на p, дадут очевидно, одно и то же число:
Зная это число и сумму этого числа с n, достаточно из последней вычесть первое, чтобы получить число n.