Таблица умножения: частный случай или универсальное средство?

Я написал много статей про таблицу умножения, и комментарии к ним открывают новые и новые проблемы, наталкивают на любопытные мысли.

В этом комментарии читатель Антон Кукушкин говорит о таблице умножения как об универсальном средстве:

Стив Май, основная проблема в том, что вы предлагаете универсальный инструмент заменить на множество частных, которые удобны в той или иной ситуации.

Чуть выше я описывал один из случаев, как я выполняю "табличное умножение" без использования таблицы умножения (примерно как в этой статье).

Таблица умножения одна - она (в комплекте с алгоритмом умножения в столбик) позволяет выполнить любое умножение, в том числе, в дробных и отрицательных числах.

Чем не универсальное средство?

Но все же, таблица умножения - это как раз частный случай, один из многих, в то время, как умение умножать через "быстрый счёт" - это общие приёмы.

Почему?

Десятки методов умножения, которыми я для себя заменил "единую" таблицу умножения, часто называют "приёмами быстрого счёта" и считают применением частных закономерностей.

Но все "мои" частные случаи - частные лишь в тот момент, когда дело доходит до конкретного умножения. Я не запоминаю эти методы, я их изобретаю всегда на месте. Доли секунды нужны мне, чтобы построить "приём быстрого счета" для любого предложенного мне примера. И каждый раз приём получается новым, непохожим на предыдущие.

Чем не универсальное средство?

Раз уж я взялся сравнивать, и сравнил - вопреки общественному мнению, не в пользу таблицы умножения, - нужно пояснить, на чем основана моя уверенность в частности таблицы умножения.

Что есть умножение?

Согласно определению, умножение - суть многократное сложение.

Именно сложение, а не таблица. Любой метод, который основан на использовании определения (на сложении), априори является самым универсальным. А все "мои" методы основаны именно на сложении. Я не умножаю, я складываю, просто очень быстро. И нет случаев, когда я не мог бы сложить.

Таблично задавать действие тоже можно. Есть Булева алгебра, где все 16 действий задаются именно так - записаны все возможные комбинации значений операндов, и к ним - все результаты. Но таблица действия должна охватывать все случаи, а таблица умножения охватывает только однозначные числа. Там нет столбца на 11, на -5 или на ¾. Таблица, в этом смысле, не является определением, она лишь набор частных случаев.

Это приводит к очень забавной ситуации. Если кто-нибудь внезапно захочет выполнять умножение в, скажем, восьмеричной системе счисления, ему придется учить новую восьмеричную таблицу умножения, потому что привычное "семь-ю-семь" будет давать не 49 в результате, а 61. А складывая 7 раз по 7 в восьмеричной системе (пользуясь, опять таки, определением позиционной системы счисления, а не таблицей сложения), этот кто-нибудь не ошибётся.

Вот и получается, что таблица умножения универсальна лишь в частных случаях десятичной системы счисления.

Теперь вот какой вопрос от читателей хочу предвосхитить:

Трудно себе представить ситуацию, когда человеку придется выйти за рамки этих частностей, когда таблица умножения даст сбой. Никто не считает в недесятичной системе (хотя с этим я бы поспорил), да и в десятичной-то тоже сейчас все на калькуляторе умножают. Прошли уже те времена, когда учитель мог мотивировать школьника фразой "калькулятор с собой везде носить не будешь". Зачем же тратить силы на замену псевдоуниверсальной таблицы умножения?

У меня очень начитанные читатели, постоянно приводят в комментариях цитаты - то Фонвизина, то Достоевского, то ещё кого-нибудь из классики. А иногда вот какую цитату вспоминают:

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.

Как бы этим надо закончить, но я прокомментирую последние слова. Ломоносов имел в виду не таблицу умножения. Таблица умножения как раз беспорядок наводит в голове.

PS. О таблице умножения говорят, как о методе умножения, подразумевая не только её одну, а ещё алгоритм умножения столбиком, сама же по себе таблица умножения методом не является.