Для быстрой проверки вычислительных навыков можно использовать следующую диагностику.
Она основана на решении небольших примеров преимущественно уровня начальной школы. Важно, чтобы при расчётах был выбран самый эффективный метод вычислений. Калькулятором пользоваться запрещено, ручкой и бумагой пользоваться можно, когда не получается решить устно. Порядок выполнения заданий не важен, но лучше решать их по порядку. Разумеется, все задания должны быть выполнены по возможности правильно.
Школьники могут использовать этот тест для самопроверки. Преподавателям эта диагностика поможет сравнительно быстро понять, на каком уровне находятся вычислительные навыки их подопечных. После получения ответов ученика важно обсудить его способ решения и по возможности показать наиболее эффективный.
Диагностика находится в прикреплённом файле. В ней два уровня: первый для тех школьников, кто оценивает свои навыки счёта как плохие, второй – как средние.
***
Расшифровка диагностики по заданиям:
𝟔 + 𝟕 + 𝟓 = 𝟏𝟖 или 𝟖 + 𝟗 + 𝟕 + 𝟔 = 𝟑𝟎. Здесь в первую очередь проверяем, удаётся ли ученику держать в голове результаты небольших вычислений. Особенно это нужно потом в алгебре для приведения подобных. Заодно смотрим, пробует ли складывать числа парами.
𝟐𝟖 + 𝟑𝟕 = 𝟔𝟓 или 𝟖𝟑 - 𝟐𝟕 = 𝟓𝟔. Два самых сложных примера заданий на вычитание и сложение для двузначных чисел в пределах сотни. Несколько возможных вариантов: не может посчитать правильно, считает столбиком на бумаге, считает в голове столбиком. Если считает в уме, то нужно уточнить, представляет ли столбик в голове и как работает с десятками и единицами.
𝟏𝟑 ⋅ 𝟑 = 𝟑𝟗 или 𝟏𝟐 ⋅ 𝟖 = 𝟗𝟔. Два задания на умножение двузначных чисел в пределах сотни. Первое без перехода через десяток, второе с переходом через десяток. Здесь мы отслеживаем как ученик понимает единицу вначале: как один десяток или как число, стоящее слева от 2? Представляет в голове сам образ умножения столбиком? Начинает перемножение с единиц или десятков? Или же всё-таки считает правильно (то есть в для второго случая умножает 10 на 8 и прибавляет к результату 2 ⋅ 8)?
𝟏𝟑𝟖 + 𝟐𝟒𝟐 = 𝟑𝟖𝟎 или 𝟏𝟑𝟓 + 𝟐𝟖𝟕 = 𝟒𝟐𝟐. Сложение столбиком допустимо для трёхзначных чисел только при двух или трёх переходах через десяток, когда не комфортно держать это в голове. В других случаях всё-таки правильнее писать решение в строку и сразу считать в уме. Если смотреть сквозь призму устных вычислений, то в предложенной первой задаче нужно заметить, что единицы при сложении дают десяток, поэтому можно сразу сложить в уме 38 и 42 (нужно стабильно уметь делать такие операции, тем более результат остаётся в пределах сотни) и потом добавить три сотни. Второй пример совсем не удобен для сложения в уме, поэтому допустимо просто считать столбиком.
𝟓𝟔𝟎 : 𝟖 = 𝟕𝟎 или 𝟔𝟑𝟎𝟎𝟎 : 𝟗 = 𝟕𝟎𝟎𝟎. Частичная проверка знания таблицы умножения. 7 ⋅ 8 — один из самых сложных примеров в таблице умножения однозначных чисел, наряду с 7 ⋅ 9, 8 ⋅ 9 и другими подобными. Это связано с тем, что они находятся в конце таблицы, и обычно на них мало успевают решить примеров. Остальные легче, т.к. они при освоении таблицы умножения много раз повторяются до этого. Также проверяем умение работать с числами с нулями на конце при делении на однозначное число.
𝟐𝟒 ⋅ 𝟑𝟔 = 𝟖𝟔𝟒 или 𝟗𝟕 ⋅ 𝟖𝟗 = 𝟖𝟔𝟑𝟑. Смотрим, владеет ли ученик алгоритмом письменного умножения в столбик, и попутно проверяем сложные примеры из таблицы умножения (для второго случая). Обращаем внимание, ставит ли подписи над числами. То есть важно понимать, умеет ли ученик держать в оперативной памяти цифры, когда мы «три пишем, шесть в уме»
𝟓 + 𝟏𝟑 + 𝟗𝟓 = 𝟏𝟏𝟑 или 𝟓𝟖 + 𝟑𝟏+ 𝟓𝟐 + 𝟔𝟗 = 𝟐𝟏𝟎. В этом примере идёт проверка, воспринимает ли ученик задание как одно целое или просто идёт по порядку. То есть понимает ли, что иногда можно складывать числа группами. Для первого случая правильнее сначала сложить первое и последнее число, а для второго лучше складывать парами (первое с третьим и второе с четвёртым). Если использовать такой подход, то задание легко решается устно.
𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 : 𝟑𝟎𝟎 = 𝟒𝟎 или 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 : 𝟓𝟎𝟎 = 𝟐𝟒. Допустимо, если при решении явно зачеркивались нули в делимом и делителе. Также вторая задача проверяет умение разделить 120 на 5 устно. Второй пример можно решать двумя способами. Либо поочерёдно разделить на 5 числа 100 и 20, а потом результаты сложить. Либо разделить на 5 так: сначала разделить на 10, а потом домножить на 2 (или наоборот). Обычно используют первый вариант, если задача такого деления промежуточная и нет перед глазами явной её записи. Второй способ выявляет довольно продвинутый навык устного счёта.
𝟗𝟗 + 𝟕𝟔 = 𝟏𝟕𝟓 или 𝟑𝟗𝟖 ⋅ 𝟒 = 𝟏𝟓𝟗𝟐. Различные вариации устного счёта способом округления. Во первом случае нужно добавить единицу до ста, сложить числа, а потом вычесть единицу из результата. Во втором случае, видя «некрасивое» трёхзначное число, большинство учеников начинает умножать столбиком. В целом это нормальный способ, когда несколько разрядов при умножении переходят через десяток. Но здесь явно не хватает двух единиц до круглого числа 400, которое легко умножать. То есть правильнее перемножить 400 и 4, а после этого вычесть 8 (=два умноженное на четыре).
𝟒 ⋅ 𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝟎 или 𝟑𝟔 ⋅ 𝟐𝟓 = 𝟗𝟎𝟎. Смотрим ли, владеет ли навыками продвинутого устного счёта. Тут нужно в обоих примерах знать, что 25 ⋅ 4 =100. А во втором нужно ещё и уметь отделить четверку как множитель от 36. То есть представить выражение в виде 9 ⋅ 4 ⋅ 25, заметив, что 4 хорошо умножается на 25. Допустимо дважды отделить двойку таким образом: 18 ⋅ 2 ⋅ 25 = 18 ⋅ 50 = 9 ⋅ 2 ⋅ 50 = 9 ⋅ 100 = 900. Хотя, если ученик это умеет делать, то обычно он сразу видит, что можно отделить четвёрку.
Разделить с остатком 𝟐𝟓 на 𝟒 или 𝟒𝟕 на 𝟔. Многие ученики не понимают (или забыли), что значит остаток. В целом допустимо, если ученик может решить переформулированную задачу: «представить в виде смешанной дроби 25/4 или 47/6». Некоторые просто говорят наугад, безуспешно попытавшись вспомнить результат таблицы умножения. Ещё можно эту задачу можно усложнить, задав другой пример. Например, 61 : 7. Здесь в отличие от примеров выше есть переход через десяток и необходимость помнить про сложное табличное значение 56. Или можно дать другой схожий сложный пример: разделить 54 на 8 с остатком (обычно при слабом знании таблицы умножения сбивает с толку то, что 64 = 8 ⋅ 8 и 56 = 7 ⋅ 8).
𝟏𝟑𝟐 : 𝟔 = 𝟐𝟐 или 𝟐𝟓𝟑 : 𝟏𝟏 = 𝟐𝟑. Здесь не обязательно, чтобы ученик сначала 220 делил на 11, а потом делил оставшиеся 33. Нормально, если он говорит, что-то вроде: «Cначала разделил 22 на 11, потом 33 и получил 23». По сути, в голове сохранился урезанный алгоритм деления в столбик, но при делении он может быть оправдан (т.к. и в графической записи, и в уме расчёт начинается со старших разрядов).
Сократить дроби 𝟐𝟒/𝟑𝟔 = 𝟐/𝟑 или 𝟑𝟗/𝟔𝟓 = 𝟑/𝟓. Это и следующие задания только для относительно продвинутых учеников. На этом примере часто сыплются представители механических систем устных вычислений, вроде ментальной арифметики. Здесь нужно не просто что-то в явном виде посчитать, а скорее знать разложение на множители. И если в первом случае можно просто делить на 2, на 3 или сразу на 6 (если ученик делит сразу на 12 – это хороший знак), то во втором случае сокращением через деление не отделаться. Тут нужно больше з н а т ь, что 39 = 3 ⋅ 13 и 65 = 5 ⋅ 13. Если ученик это знает, что скорее всего у него неплохие навыки устного счёта.
И ещё. В диагностике явно прописано, что нужно сократить дробь, поэтому ученики заведомо знают, что её м о ж н о сократить. Это небольшая неявная подсказка. Если же такая же дробь появится где-то в промежуточных вычислениях, значительно меньшее количество учеников заметят, что эта дробь сократима. Однако, можно использовать вместо этой задачи одну из расширенных её версий: «Сократите дроби: 26/50, 26/51, 26/52» или «Сократите дроби: 17/51, 18/51 и 19/51». Здесь не так очевидна сократимость. И лучше вначале проверить понимает ли ученик, что такое дробь и сокращение дробей. В некоторых случаях достаточно попросить сократить дробь 4/6, 6/10 или 6/9.
𝟐𝟎𝟎𝟑 ⋅ 𝟗 = 𝟏𝟖𝟎𝟐𝟕 или 𝟓𝟒𝟑𝟔 : 𝟗 = 𝟔𝟎𝟒. Проверяем умение раздробить число на два слагаемых. В первом случае удобно 2003 мысленно представить как 2000 и 3, их отдельно домножить на 9 и результаты сложить. Во втором примере смотрим, дробит ли исходное число на 5400 и 36 (когда дробят при делении – это довольно продвинутый уровень). Если делит столбиком, следим за нулём.
𝟖 ⋅ 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 и 𝟏𝟓² = 𝟐𝟐𝟓. Две задачи на быстрый устный счёт, где важно простое знание ответа. Обычно те, кто набил руку в вычислениях, отвечают на них сразу. Первое косвенно указывает на хорошие навыки перевода обыкновенной дроби в десятичную (выше был схожий вопрос про 4 ⋅ 25 = 100). Второй пример косвенно показывает, умеет ли строить стандартную параболу (1,5² очень часто там используется). Если не знает наизусть, то скорее всего не знает и таблицы квадратов чисел до 20 и имеет трудности с квадратичной функцией.
***
Теперь небольшие комментарии к самой диагностике.
Первый уровень имеет смысл давать ученикам, которые имеют очевидные серьёзные пробелы в математике. Второй уровень – тем, кто в целом нормально оценивает свои навыки счёта. Если ученик сразу очень легко выполняет задания первого уровня, то можно не тратить время и дать второй. Если же изначально ученик взялся за сравнительно более сложные задания и решения идут очень туго, то лучше переключится сначала на более простые.
В самой диагностике конкретные числа не так важны, их можно за пять минут заменить на другие. В первую очередь обращаем внимание на то, как ученик выполняет задания. Поэтому важно после диагностики обсудить полученные результаты и то, как школьник к ним пришёл.
Если школьники застревают на первых пяти примерах, имеет смысл проверить счётные навыки первого класса: сложение и вычитание круглых десятков, весь счёт в пределах 20 (особенно переходы через десяток), разбиение чисел в пределах 10 и пр.. Также следует проверить понимание умножения как многократного сложения и задать пару примеров на конструкции вроде больше на/в, меньше на/в, увеличить на/в, уменьшить на/в.
Если мы изначально понимаем, что ученик в целом хорошо умеет считать, то можно проверить насколько у него продвинутые навыки счёта, дав ему содержательное задание на деление, например, пятизначного числа на трёхзначное. Если удаётся разделить, то скорее всего у него хорошо развит навык устного счёта.
Если сильных затруднений в исходной диагностике не было, можно дать диагностику на дроби.
Иногда косвенно оценить навыки счёта ученика помогает его математическая речь. Если он при решении задач говорит что-то вроде «плюсую однёрку» вместо «добавляю/прибавляю единицу/один», то это с высокой вероятностью указывает на слабые вычислительные навыки.
Нужно учитывать, что диагностика всех проблем не показывает. Даже если лишь пару задач не удалось решить, лучше полностью пройти курс постановки вычислений с нуля (обычно с конца 2 класса — с внетабличного умножения). Иногда для этого достаточно пары занятий. У некоторых школьников навык счёта был поставлен в начальной школе, но они просто могли что-то забыть.
После этой диагностики можно понять с какого класса следует ставить вычислительные навыки. Более предметно мы поговорим об этом в следующих статьях.