Когда ученик 9 класса видит квадратное уравнение, то почему-то не задумываясь "кидается" решать его через дискриминант. Иногда так и хочется крикнуть ему: "СТОЙ!" Что я частенько и делаю, особенно, когда перед глазами неполное квадратное уравнение (о них поговорим в следующий раз). Но даже, когда в условии дано полное квадратное уравнение, формула не всегда будет самым оптимальным вариантом. Конечно она работает всегда и очень надежна. Но здесь вопрос в простоте нахождения корней.
Давайте посмотрим как решать квадратные уравнения. В том числе и этот не самый быстрый, но самый надежный способ.
Полное квадратное уравнение записывается в форме:
Рассмотрим 4 способа решения полных квадратных уравнений
Как видно, достаточно запомнить расчетные формулы и правильно определить числовые коэффициенты. Если дискриминант оказался равен нулю, что решение будет только одно. Если дискриминант отрицательный, то действительных корней уравнение не имеет.
Рассмотрим на примере.
Посмотрите на это уравнение. Для начала необходимо убедиться, что квадратный трехчлен левой части записан в стандартном виде (т.е. переменные идут в порядке уменьшения степени от 2 до 0), а слева в равенстве стоит нуль.
В этом примере в левой части нарушен порядок записи слагаемых. Поэтому, для начала, перепишем квадратный трехчлен слева в стандартном виде и определим все числовые коэффициенты (обратите внимание что знак коэффициентов написан перед самим значением!):
Теперь аккуратно подставляем эти значения в формулы и находим корни (решения) уравнений:
Этим способом ученики пользуются редко. По сути это такой же способ как и первый. Только его уместно использовать, когда коэффициент b делится на 2. Тогда формулы упрощают расчет. Особенно удобно его применять, когда числовые коэффициенты достаточно большие.
Видно, что вычисления получаются достаточно "громоздкими". Но, т.к. b четное число, то упрощаем расчетную часть применяя формулу для четного b.
Этот способ должен быть на первом месте, т.к. он как раз и "дает" нам те самые формулы нахождения корней квадратного уравнения. Он иногда сильно упрощает решение. Особенно хорош для уравнений с числовым коэффициентом a, который можно представить в виде квадрата.
Для применения такого метода решения необходимо хорошо знать и уметь пользоваться формулой "квадрат двучлена":
Видим, что 9=3²
Тогда выделим полный квадрат в левой части уравнения:
Как видим, никаких формул. Решение свелось к двум простым линейным уравнениям.
Будьте смелее работая с числами. Смотрите на них и представляйте в виде произведений, разностей других чисел, тогда они начнут работать на вас.
Теорема работает только для приведенных квадратных уравнений (а=1). Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным поделив все его числовые коэффициенты на а.
Для нахождения корней уравнения пользуемся обратной теоремой.
Получается, что если вы можете подобрать такие числа m и n, что для них будет справедлива обратная теорема, то они и будут являться корнями.
Здесь все "заточено" на вашу вычислительную интуицию и хорошее знание таблицы умножения.
Посмотрим на это уравнение и обратим внимание, что коэффициент q=-23 ("23" число простое и раскладывается на множители только одним способом, а "-23" - двумя способами)
Теперь посмотрим чему равна сумма этих множителей:
По теореме сумма должна быть равна р с противоположным знаком. Остается только один вариант:
Алгоритм простой:
1) смотрим на "свободный" числовой коэффициент и прикидываем на какие множители он распадается;
2) думаем, может ли какая-либо комбинация множителей в сумме дать числовой коэффициент перед х с противоположным знаком;
3) если да, то ответ найден. Эти числа и есть решение уравнения. Если нет, то тут без первого способа не обойтись ;)
Продолжение следует...
Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность
(✿◠‿◠)
Учительница задала двум ученицам один и тот же пример на умножение:
1 год 1 мес. 11/4 дня × 36.
Первая девочка умножила сначала на 9, а полученное произведение – на 4. Ответ получился правильный.
Вторая девочка умножила сначала на 4, а потом на 9 и тоже получила правильный ответ.
Учительница оценила обе работы одинаково. Если предполагать, что вторая девочка избрала свой путь решения вполне сознательно, то учительница поступила несправедливо, дав обоим ответам одинаковую оценку. Почему?
(Из книги Я. Перельмана "Математика в занимательных рассказах ")