Комбинаторика в школе теперь изучается с начальной школы.
Комбинаторика - это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Рассмотрим сегодня, чем отличаются следующие условия: перестановка, размещение, сочетание.
Перестановка
Берутся все элементы и меняются только их места.
Например:
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 6 без повторения цифр в числе?
Чтобы получить трехзначные числа без повторения необходимо переставить данные цифры.
126, 162, 216, 261, 621, 612.
Всего 6 вариантов.
Если речь пойдет о четырехзначном числе, то комбинаций получится гораздо больше. Но это количество подчиняется закону:
"!" - знак факториала.
Факториал числа — это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число).
Сколько четырехзначных чисел можно получить из цифр 3, 7 , 4, 2 без повторения цифр в числе?
А теперь тоже самое, только с небольшим подвохом.
Сколько четырехзначных чисел можно получить из цифр 3, 0 , 4, 2 без повторения цифр в числе?
Подумайте какие числа необходимо исключить из подсчета и какое их количество?
Размещение
Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.
Для более простого понимания размещения рассмотрим следующий пример.
Есть буквы А, Б, В и Г. Сколько комбинаций из 2ух различных букв можно получить?
AБ, АВ, АГ, БА, БВ, БГ, ВА, ВБ, ВГ, ГА, ГБ, ГВ
Размещением (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов.
В данном примере n=4, k=2, т.е. это размещение из 4 по 2 без повторения.
Общая формула, по которой можно всегда рассчитать число размещений без повторения:
Для создания 3-значного пароля используются символы из алфавита {+,*,A,!,2}. Сколько всего паролей без повторения символов можно составить?
По условию задачи n=5, k=3.
А если элементы могут повторяться?
Тогда
Смотрите как поменяется решение, если убрать одну фразу из задачи
Для создания 3-значного пароля используются символы из алфавита {+,*,A,!,2}. Сколько всего паролей без повторения символов можно составить?
Сочетание
Сочетание отличается от размещения тем, что в этом случае не важен порядок элементов.
В классе 4 человека (Петя, Света, Игорь, Ваня) наиболее успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
В данном случае комбинация ПС и СП будет одной и той же (Света и Петя)
Давайте посмотрим сколько сочетаний можно получить в данном примере:
ПС, ПИ, ПВ, СИ, СВ, ИВ
Т.е. всего 6 вариантов.
Есть и для сочетаний своя формула:
В классе 8 человек наиболее успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Заданий связанных с комбинаторикой на экзамене в 9-ом классе НЕТ, но они могут косвенно встретиться в задании 10 на теорию вероятности.
Понимание таких тем будет полезно в дальнейшем...
Всем успешной подготовки
Продолжение следует...