Выпала мне в ленте статья про "новые ошибки" в корнях (Статья). Автор подробно описывает проблему, и даёт рецепт решения. Мне лично не видится, чтобы этот рецепт был на 100% действенным, и я про это в конце напишу.
Суть проблемы - в том, что дети "придумывают" новые формулы. По аналогии с формулой произведения корней, используют "формулу суммы корней":
Проблема кроется куда глубже, чем видится автору статьи.
Во время изучения математики дети стараются уловить закономерности. При "фронтальном объяснении" материала, гарантированно, закономерности, уловленные детьми, будут ошибочными. Их изначально никто не выявляет, поэтому со временем ошибки проявляются, и получается, как и написано в статье:
В большинстве случаев так, но если очень хочется можно и по-другому.
Поясню на том же примере: учитель часто во время вычислений делил корни на пары. Даже если при этом говорилось, что формула работает с умножением, ребёнок запоминает сам факт - делить корни на части можно. При чём делить на части, если эти части в квадратах. Он ориентируется не на действие в формуле, он ориентируется на внешний вид записи. Сравните:
Для ребёнка формула подходит под вид выражения! Потому что и там, и там есть корень. И там и, там под корнем два квадрата. И там, и там между квадратами знак. А главное - выглядит так же!
Они просто "плюс" переносят в разрыв между корнями, точно так же, как перенёсся знак умножения в формуле.
Логика железная. Именно её видит ученик. Можно было бы ожидать, что ученик как-то отреагирует на то, что в формуле и в примере знаки действий разные, но нет! И тоже понятно, почему: во-первых, учитель прекрасно "выносил между корней" не только умножение, но и деление, а во-вторых... Это очень сложный и неприятный момент: у ученика уже наработан стереотип мышления, что в процессе преобразования выражений или уравнений нужно брать часть записи и переносить (буквально) в другое место. Он моментально устанавливается, когда при решении уравнений во втором классе (!) числа переносят через равно. (Это ещё один повод, почему я против уравнений до 7 класса.) То есть, для ребёнка "+" - это не действие, а часть записи, которую можно вольно переносить куда удобно.
То есть, у детей просто ошибочное представление о том, что такое выражение, что такое формула и что значит применить формулу. И какие-то полумеры тут не помогут.
Рецепт.
Автор статьи предлагает заставлять вычислять, чтобы увидеть, что результаты разные. Это может помочь, но только в некоторых случаях. Потому что в большинстве своём дети воспринимают математику как нелогичную (с очень странной логикой) бессистемную вещь, в которой если нельзя, но очень хочется, то можно.
Детям нужна система и логика, которая работает всегда. Вообще, хорошо бы давать изначально ориентировку на действия, но если уж дожили до корней (8 класс), а формулы всё ещё воспринимаются как образы, то нужно учиться работать с действиями. Просто так говорить, мол, дети, смотрим на действия - бесполезно. Один из вариантов работы я подробно описал в статье Проблема с применением формул: части выражения.
Это долгий и кропотливый труд, который постепенно будет создавать нужные мыслительные стереотипы (ориентировку на действия) и вытеснять ошибочные (ориентировку на образ).
О применении формул и о том, как научить не делать таких ошибок, я ещё напишу пару статей.