Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня мы поговорим о сражении, которое длится еще со времен Евклида. О сражении, перспективы завершения которого настолько туманны, что попытки победить или проиграть в нём одинаково бесперспективны.
Речь идёт о поиске хотя бы одного нечетного совершенного числа или же доказательства, что таких чисел не существует. Давайте немного проникнемся вопросом. Поехали!
Что такое совершенное число ?
На самом деле, всё просто! Число называется совершенным, если сумма его делителей равна ему самому. Первые примеры таких чисел Вы легко можете привести сами:
Как видно по первым представителям, каждое следующее совершенно всё больше "отрывается" от предыдущего.
Евклид впервые разработал способ построения набора четных совершенных чисел в книге IX "Элементы". Он чисто эмпирически показал, что совершенное число имеет вид:
Связь простых и совершенных чисел
Простые числа вида 2ᵖ - 1 (p - простое) - это так называемые простые числа Мерсенна, которых на 2021 год известно всего лишь 51 штука. Например, самое большое из них равно (2^82 589 933 − 1). Так вот, по рисунку выше понятно, что и совершенных чисел известно столько же, ведь каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот.
Доказательство этого факта осуществил только Леонард Эйлер больше, чем через тысячу лет после Евклида!
У совершенных чисел большое количество занимательных свойств, которые могут понравиться не только специалистам в теории чисел, но и нам, обычным любителям математики. Например, что каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 в десятичной системе, а во все числах в качестве минимум одного из делителей выступает полный квадрат (4,16,32,64 и т.д.).
Однако, самое интересный факт о совершенных числах, как Вы уже догадались, это то, что мы не знаем, существует ли хоть одно совершенное нечетное число???
Греческий математик Никомах около 100 года н. э. заявил, что все совершенные числа должны быть четными, но никто так и не доказал это утверждение.
Совершенные подделки
Декарт нашел первый пример "поддельного" совершенного числа, которым оказалось 198 585 576 189. Давайте разберемся, почему его так называли:
Если раскладывать наше число на простые множители, то сигма-функция (сумма делителей числа) будет равна 2*198585576189, что фактически является определением совершенного числа.
Однако, для корректного вычисления сигма-функции числа pᵢ - должны быть на самом деле простыми. Мы же вычисляем её, притворившись, что число 22021 - простое, в то время, как оно равно произведению 19^2 и 61. Конечно, если пересчитать всё правильно, наш кандидат будет отброшен, но всё-таки останется невероятно близок к цели.
Следующую подделку ждали 361 год, когда Питер Войт представил число -22,017,975,903. Оно всем хорошо, и условиям удовлетворяет, и сигма-функция вычисляется как надо. Единственная проблема в том, что оно отрицательное.
Кстати, количество "поддельных" чисел, подобных описанным выше, бесконечно.
Зачем нужны эти "подделки" ?
За тысячи лет борьбы на этом фронте, математика, конечно, продвигалась не только "поддельными" путями. Например, было установлено, что:
- если нечетное совершенное число существует, то оно больше, чем 10^1500 степени;
- оно не делится на 105;
- и другие более сложные зависимости.
Если обнаружится какое-либо поведение подделок, которое не соотносится с "настоящими " предполагаемыми совершенным числам, математики автоматически исключат их существование. Например, окажется, что поддельные числа должны быть кратны 105, что не может быть.
К слову, математики крайне пессимистично смотрят на проблему поиска нечетных совершенных чисел, скорее не предполагая вообще никакого исхода. Но разве это должно мешать? Спасибо за внимание!