Сегодняшняя задача была предложена школьникам на всесоюзном этапе школьной олимпиады 1982 года. Задача имеет следующий вид:
Задача довольно легкая, заслуживает 4/10.
Будем доказывать утверждение методом от противного. Предположим, что все три числа больше 1/2, т.е.
Давайте перемножим их. Так как числа слева и справа неравенств положительны, то знак неравенств сохранится.
Теперь вспомним элементарную тригонометрию (а если точнее, то формулу двойного угла)
Видим, что выражения в неравенстве элегантно собираются в синусы двойного угла.
Ну а теперь заключительная ремарка! Каждый из синусов меньше или равен 1. Значит их произведение тоже меньше или равно 1. Но наше неравенство говорит обратное. Значит, мы пришли к противоречию и наше изначально утверждение неверно. Таким образом, одно из чисел в условии задачи меньше либо равно 1/2. Задача решена!