Итак, рассмотрим следующую задачу. Формулировка у нее очень простая:
Эта задача была предложена на заключительном этапе олимпиады школьников (Всероссийская олимпиада 1993 года). Задача на 5 из 10.
Для решения заметим следующий факт:
Так как максимальная цифра у нас 9, значит сумма всех цифр нашего числа не превышает 9n. Но вообще-то:
Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно.
К сожалению, при n>=6 это неравенство нарушается. Поэтому мы понимаем, что условие задачи невозможно при n>=6, иначе мы придем к противоречию с самым первым фактом в нашем решении. Итак, мы пришли к тому, что нам достаточно рассмотреть в качестве n одно из чисел {1,2,3,4,5}.
1) n = 1. Число 5 имеет сумму всех чисел 5 и это не равно 2.
2) n = 2. Число 25 имеет сумму чисел 7 и это не равно 4.
3) n = 3. Число 125 имеет сумму чисел 8 и совпадает с 2*2*2. Бинго! Одно из чисел найдено!
4) n = 4. Число 625 имеет сумму чисел 13 и не совпадает с 16.
5) n = 5. Число 3125 имеет сумму 11 и не совпадает с 32.
На этом перебор заканчивается, так как мы отбросили все числа после 5. Единственное такое число это 3. Задача решена!
Если вам понравилась данная публикация, ставьте лайк!