Авторы:
Фролова Анна -6 класс
Дулин Дмитрий -5 класс
Руководитель команды:
Зинцова Анастасия Сергеевна
Мы решали и исследовали следующую задачу:
Перечислите все топологически неэквивалентные разрезания круга на 4 выпуклые части.
Сначала мы просто искали все разрезания на четыре части, которые находились.
Затем было решено ввести следующие критерии, помогающие отличить разрезания друг от друга:
Оранжевым обозначаем вершину со степенью 3.
Синим обозначаем вершину пересечения двух разрезаний на границе круга.
Коричневым пересечение одинарного разрезания с границей.
Розовым обозначены вершины со степенью 4.
Фиолетовым обозначены вершины пересечения трех разрезаний на границе круга.
Зеленым обозначены негильотинные разрезания.
Красным обозначены гильотинные разрезания.
Черным обозначены разрезания, находящиеся внутри фигуры и не соприкасающиеся с границами.
Гильотинные разрезания - это разрезания, пересекающие объект целиком.
Негильотинные разрезания - это разрезания, начинающиеся на границе и заканчивающиеся внутри объекта.
На две части круг можно разделить только одним способом.
На три части можно разделить только четырьмя способами.
Упомянем также, что разрезания параллельные и пересекающиеся за кругом решили считать одинаковыми.
Используемый способ полного перебора разрезаний на 4 части:
Сначала мы рисуем изначальные разрезания на три части, потом берем одно из разрезаний и ставим точки в разных местах, таким образом, чтобы при проведении через них нового разрезания мы перебрали все варианты на основе используемого разрезания на три части. Ниже приведены все разрезания полученные таким способом из разрезания на 3 части.
А еще разрезание номер 5 получено из разрезания на две части.
Чтобы получать новые разрезания, которых еще не было, в точках соприкосновения линий можно разделить линии, отходящие от этого места на две новые линии, поменяв угол у одной из них. Таким образом будут найдены новые разрезания.
Примечания: имейте ввиду, что если мы смотрим на 2 варианта разрезаний и у них одинаковый набор данных, но расположение линий разное относительно друг друга, то мы считаем их не эквивалентными.
- У 2 и 19 одинаковый набор данных, но они разные, т.к. относительно друг друга линии стоят по-разному.
- То же самое, например, с 25 и 4
В процессе работы мы обнаружили, что 16 и 18 эквивалентны, 19 и 28 эквивалентны, а также эквивалентны 29 и 37.
Итоговый список неэквивалентных разрезаний приведен ниже. Всего 38 штук.
Вероятно даже при таком продуманном подходе, мы могли что-то упустить и могут существовать разрезания, которые ни из каких предыдущих не получаются, хотя некоторые из них мы нашли.