Авторы:
Горелова Ольга - 5 класс
Фролова Анна - 6 класс
Руководитель команды:
Зинцова Анастасия Сергеевна
Предложенная задача выглядела следующим образом:
По кругу расставлены К девочек и К мальчиков. Пара детей называется хорошей, если между ними расположено поровну мальчиков и девочек. Какие значения может принимать число хороших пар?
Решение:
Будем называть пары хх (хороше-хорошая), хп (хороше-плохая), пх (плохо-хорошая), пп (очень плохая), где первая буква означает хорошесть пары по большей дуге, а вторая буква - хорошесть по меньшей дуге.
Также мы посчитали нелишним перечислить все возможные расстановки восьми детей.
Законы выведенные при решении этой задачи:
- Если пара соседних детей однополая, то эта пара является пх.
- Пара однополых детей, стоящих напротив друг друга, то они не могут быть хх.
- Пара детей, стоящих напротив друг друга, в кругу с 4n детьми, где n-натуральное число, будет пп.
- Если между детьми нечетное кол-во детей, то они пп.
- Если выстроить подряд всех мальчиков, а затем всех девочек по кругу, то мальчик с девочкой или девочка с мальчиком напротив (понятие напротив можно понять по рисункам ниже), то они будут хх. (см. рисунок ниже)
- Если рядом стоящие дети будут парой, то они не могут быть пп.
- При изменение условия, если детей будет нечетное кол-во, то никто не сможет быть хх.
- При чередовании мальчиков и девочек, рядом стоящие дети будут хх.
- При чередовании мальчиков и девочек, пары, между которыми четное кол-во детей, будут хх.
Чередующиеся дети
Рассмотрим ситуацию с чередующимися детьми и хх парами, которые получаются, если между детьми четное число детей. Где К мальчиков и К девочек.
Составим таблицу юного исследователя:
Ответим на следующие вопросы:
- Сколько всего пар, если детей 2К?
Ответ: 2К^2 - К.
Обоснование: Сначала найдем все пары с одним ребенком. Их 2К-1. Затем найдем новые пары с другим ребенком. Их 2К-2. Потом с третьим и т.д. Для подсчета используем Метод Гаусса.
(2К - 1)+(2К - 2)+(2К - 3)+(2К - 4)+...+1 = 2К*(2К-1)/2 = 2К^2 - К - Сколько хп/пх пар при чередовании?
Ответ: 0 - Сколько пп пар при чередовании?
Ответ: К^2 - К
Обоснование: К, так как если из всех пар вычесть хх, то получится кол-во всех пп пар: (2К^2 - К) - К^2 = К^2 - К
Как результат, можем сформулировать следующую теорему:
Теорема Гореловой про хорошие и плохие пары с чередующимися детьми:
Расставим в круг К мальчиков и К девочек, чередуя их друг с другом.
Тогда:
Всего хх пар - К^2.
Всего пп пар - К^2 - К.
Всего пх и хп пар - 0.
Сначала все мальчики, потом все девочки
Рассмотрим ситуацию с 2К детьми, где сначала К мальчиков, затем К девочек. Найдем все хх пары. Для этого составим таблицу юного исследователя:
По сути здесь описаны все хх пары для такой рассадки. Этот случай изображен на уже показанном рисунке.
То есть всего К хх пар в этом случае.