Как провести прямую через точку в бесконечности?

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем рассматривать тему занимательных геометрических построений. Сегодня у нас не будет обычных ограничений: отсутствия делений линейки, фиксированного раствора циркуля и т.д.

Сегодня мы предложим способ построения решения задачи, которая хоть и немного "вырожденная" (в том смысле что допускает простое решение без введенных ограничений), но не лишена изящества.

Источник: https://i.pinimg.com/originals/88/2a/9d/882a9df09fe5267b899740f8b5b924cc.png

Итак, у нас есть два отрезка на плоскости и отмеченная точка. Требуется провести через эту точку прямую, проходящую через точку пересечения продолжений отрезков:

В этом и состоит "вырожденность", ведь мы можем просто приложить линейку и найти пересечение продолжений отрезков. С другой стороны, если точка пересечения находится на очень большом расстоянии, наш способ просто замечателен.

Проведем следующие дополнительные построения. Через точку К проведем три произвольные прямые, которые пересекут отрезки а и b в трех парах точек:

Красота построения в том, что оно почти закончено!

Остается только построить отрезки CB' и BC':

Точка пересечения обозначена стрелкой. Используя симметричность построения, мы могли бы получить точку пересечения и справа от точки К

Теперь наглядно проверяем верность нашего построения:

Все получается! Другое дело, что выбранное построение требует доказательства.

Единственное обоснование справедливости этого построения, которое я нашел на просторах сети, использует термины проективной геометрии. Тем не менее, я думаю есть вполне себе школьный метод геометрического доказательства этого утверждения.

Хотя я бы конечно пытался "алгебраизировать" эту задачу и поиграться с уравнениями прямых. Если у Вас есть идеи, пишите в комментариях! Спасибо за внимание!

• TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.