Что намеряли Хафеле и Китинг?

Эксперимент Хафеле-Китинга, по сути — это макроскопическая проверка эффекта близнецов. Точнее, им удалось измерить два релятивистских эффекта: кинематический, то есть Лоренцево замедление движущихся часов (тот самый эффект близнецов) и гравитационное замедление часов на Земле по сравнению с летящими в небе, где потенциал немного ниже.

Мне уже много раз писали в комментарии глупости, переписывая, явно, из одного и того же мутного источника. Вообще, очень странно, так как статьи Джозефа Хафеле и Ричарда Китинга свободно доступны, невелики по объему и написаны простым языком, без запутанных формул. Любой мог бы почитать, но не почитал. Что ж. Разберем... Ссылки и библиографические сведения в конце заметки.

Итак, ученые сделали следующее. В октябре 1971 года они возили на обычных коммерческих авиарейсах четыре прибора (цезиевые атомные часы), обогнув Землю дважды: в западном направлении и в восточном. По результатам этого эксперимента они опубликовали две статьи. Первая посвящена теоретическому расчету ожидаемого эффекта, а во второй обсуждаются полученные результаты.

Лоренцево замедление времени при небольших (по сравнению со скоростью света) скоростях имеет вид 1-½u²/c². Здесь мы, если кому непонятно, применяем формулу (1+x)ⁿ ≈ 1+nx, где x мало по сравнению с единицей, а n — любое число. В данном случае n=½ (корень).

Гравитационное замедление, как мы тоже уже обсуждали, зависит от разности потенциалов. Поскольку высоты очень малы по сравнению с радиусом Земли R, можно записать убегание летящих на высоте h часов как gh/c².

Авторы отмечают, что часы на Земле движутся вместе с ней (Земля вращается) и потому инерциальной системой не являются. Инерциальный "наблюдатель" смотрит на Северный полюс с большого расстояния. И относительно него часы на Земле движутся, причем с немалой скоростью. И потому отстают, причем и за счет кинематического эффекта, и за счет гравитационного.

Запишем отставание часов на Земле: 1-½R²Ω²/c². Просто потому, что скорость вращения при угловой скорости Ω есть ΩR. Для летящих со скоростью u часов это будет

1-½(RΩ+u)²/c² = 1-½(R²Ω²+2RΩu+u²)/c².

Разность показаний тогда равна

-½t(2RΩu+u²)/c², где t — показания часов на Земле.

В статье есть довольно много опечаток, в том числе в этой формуле. Но понимающему понятно.

Гравитационный вклад имеет знак "плюс", равен gh/c², и добавляется.

При движении на запад оба вклада положительны, и складываются. При движении на восток они частично компенсируют друг друга.

Время полета, если лететь прямо и без посадок, равно 2πR/|u|, что дает формулу

2πR/c² ( gh/|u| - RΩu/|u| - |u|/2 ).

Ясно, что u/|u| = ±1.

Асимметрия при полетах в разных направлениях позволяет различить два релятивистских вклада.

Обратите внимание, что разница отклонений при полете на запад и на восток от скорости самолета не зависит (если скорость туда и обратно одинакова относительно Земли): останется только удвоенное второе слагаемое, в котором от скорости только знак.

Давайте проверим хотя бы один расчет авторов. Радиус Земли 6400км, угловая скорость 2π за 24 часа, g≈10м/сек², скорость самолета u примем за 1000км/час, высоту за 10 км, π≈3.14. При таких приближенных значениях получим, считая u положительной, получаем -1.0899e-7сек, то есть -108нсек. В другую сторону получим 306нсек. У авторов получилось -40 и 275, но это с учетом неидеальности пути, о чем они тоже пишут.

Приведены графики этой зависимости для различных высот и скоростей.

Из статьи [1]. Релятивистская поправка как функция скорости для различных высот.

Реальный полет, конечно не чисто экваториальный, скорость и высота не постоянны, и совершаются посадки. Расчет отставания часов осуществляется интегрированием: путь разбивается на малые участки, на каждом вычисляется величина, и они складываются. Так были получены значения, приведенные в статье.

Путь на восток длился 65.4 часа, из них 41.2 часа в воздухе. Путь на запад длился 80.3 часа, 48.6 часа в воздухе. Детали полета сообщались капитанами воздушных судов. Путь на восток был разбит на 125 интервалов, путь на запад на 108.

Завершает статью обсуждение возможных погрешностей (оценки, которые я привел выше, даны в статье, разумеется, с указанием погрешности). Ошибки могут быть следствием неточностей в полетных данных либо быть связаны с упрощениями при расчетах. Первый источник ошибок авторы оценили как не превосходящий 10% для каждого слагаемого. Всего, при всех допущениях, у них получилось 60% для пути на восток и 8% для пути на запад. Ошибки в теоретических оценках, в том числе влияние Солнца и Луны, авторы считают пренебрежимо малыми. Я с ними согласен.

Теперь результаты: вторая статья. Сначала обсуждаются неточности часов. По этой причине их четыре штуки. Расхождения носят независимый характер, поэтому усреднение существенно уменьшает ошибку.

Из статьи [2]. Четыре прибора, их показания при пути на восток и на запад; ниже среднее, со среднеквадратическим отклонением в качестве ошибки. Еще ниже расчет и оценкой погрешности.

В статье проводится регрессионный анализ замеров времени, а также статистический анализ. И половина статьи посвящена обсуждению возможных источников ошибок.

Итак, никакого абсолютного движения авторы, конечно, не обнаружили; центр Земли даже не упоминается.

А эффект надежно подтвержден.

Позже были и другие эксперименты. В Японии часы поднимали на башню, зафиксировав гравитационный эффект (измерено 29±1.5, вычислено 30.7). И так далее, не буду цитировать Википедию. Последний эксперимент, описанный там, был в 2010 году, и скорость была отнюдь не космическая: 36км/ч, и высоты тоже: 33см. И, вроде как, это ещё не всё: точность часов так выросла, что можно фиксировать сантиметровые перепады высоты.

Есть еще такой ресурс: "Экспериментальные основания теории относительности". Мы его отдельно обязательно обсудим! Там обсуждается эксперименты Хафеле и Китинга и их последователей. Обсуждается критика, и показано, что критик не понимает предмет критикуемого. Да, я тоже написал, что они взяли среднее по четырем часам, это упрощенная трактовка. Во второй статье обсуждается именно статистический анализ показаний четырех часов, и это уже теперь стандартная процедура. Упоминается замечание, что по сути разница ухода часов при полете на запад и восток есть эффект Саньяка, от скорости самолета относительно Земли в идеале не зависит и имеется аналогия с линией перемены дат.

Дана ссылка на повтор в Англии. Не смотрел пока.

И еще несколько ссылок на старые работы. Переведу:

• Vessot et al., “A Test of the Equivalence Principle Using a Space-borne Clock”, Gel. Rel. Grav., 10, (1979) 181–204. “Test of Relativistic Gravitation with a Space borne Hydrogen Maser”, Phys. Rev. Lett. 45 2081–2084.
  Водородный мазер возили на ракете в космос и обратно. Важны и гравитационные эффекты, и кинематические эффекты СТО. Эксперимент известен как “Gravity Probe A”.
  От себя добавлю, что был и недавно успешно завершенный космический проект Gravity Probe B.
• C. Alley, “Proper Time Experiments in Gravitational Fields with Atomic Clocks, Aircraft, and Laser Light Pulses,” in Quantum Optics, Experimental Gravity, and Measurement Theory, eds. Pierre Meystre and Marlan O. Scully, Proceedings Conf. Bad Windsheim 1981, 1983 Plenum Press New York, ISBN 0-306-41354-X, pg 363–427.
  Возили атомные часы на самолетах вблизи залива и до Гренландии и обратно.
• Bailey et al., “Measurements of relativistic time dilation for positive and negative muons in a circular orbit,” Nature 268 (July 28, 1977) pg 301. Bailey et al., Nuclear Physics B 150 pg 1–79 (1979).
  Удерживали мюоны в кольце и измеряли время их жизни. И сравнили со временем жизни в покое. В высшей степени эффект близнецов! Скорость мюона была 0.9994c. Движущийся мюон играл роль близнеца-путешественника и возвращался "домой" каждый несколько микросекунд. Время жизни мюона в покое: Meyer et al., Physical Review 132, pg 2693; Balandin et al., JETP 40, pg 811 (1974); Bardin et al., Physics Letters 137B, pg 135 (1984).

Ну вот так вот оно обстоит с замедлением времени. Чего там физики не знают еще про атомные часы? Кто просил эффект близнецов макроскопический, чтоб вот видно было? Вот. Мало?

Боюсь, что мало. Попросят предъявить реальных близнецов, чтобы один был старенький, а второй вернулся молодым. А предъявишь — скажут, что это просто разгон имеет, наверное, какое-то омолаживающее действие, да и полеты в космос никому не вредили (вон космонавты какие все здоровые, как на подбор — неспроста ж!)

До связи, друзья.

1. Hafele, J.C., Keating, R.E. Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains // Science, 177 (4044), 1972, 166-168.
2. Hafele, J.C., Keating, R.E. Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains // Science. 177 (4044), 1972, 168-170