Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Задача, которую я Вам сейчас хочу предложить, безусловно решается применением теоремы Виета. Вот её условие.
- Есть два многочлена, нужно найти вещественное значение а, при котором они будут иметь общий корень:
Можно было бы записать теорему Виета для корней многочленов, а потом пожонглировать уравнениями, но это не так красиво...
Вы на канале "Математика не для всех" - легких путей тут не найти! Поэтому сегодняшнюю задачу будем решать через простое (до определенного уровня) понятие, которое даже подавляющему количеству студентов не знакомо. Речь пойдет о результанте.
Напоминаю, что если результант двух многочленов равен 0, то у них имеется, как минимум, один совпадающий корень. Вопросы кратности, самих значений этих корней результант тоже умеет решать, но сейчас у нас самая простая задача.
Чтобы записать результант, надо определить старшие степени наших многочленов. Они у нас квадратные, значит степень - вторая. Из этого следует, что результант будет определителем матрицы (2+2) х (2+2), записанной следующим образом:
В первую строчку вписываются коэффициенты первого многочлена, оставшийся пробел заполняется нулём. Во второй строке коэффициенты сдвигаем вправо до упора, а затем повторяем манипуляции со вторым многочленом.
Теперь нам нужно найти этот определитель. Лакомым кусочком для нас является первый столбец, в котором только два значения ненулевые. Если мы исключим одно из них, то легко разложим наш определитель по элементу столбца (используется следствие из теоремы Лапласа).
Для этого умножим первую строку на 4 и вычтем её из третьей строки. Третью строку оставим на месте, а вместо первой запишем их разность:
В момент, когда мы получили в столбце только одно ненулевое значение, мы натурально вычеркиваем строку и столбец, которым оно принадлежит. Из оставшихся элементов составляем новый определитель уже 3-го порядка, не забывая вынести за знак определителя число "4".
В данном случае это не так важно, ведь мы потом будем приравнивать определитель к "0".
Теперь применяем теорему Лапласа в явном виде (не люблю я стандартную мнемоническую формулу):
Главное - не запутаться в нагромождении минусов
Теперь нам остается найти корни этого кубического трехчлена. К счастью, полученное нами выражение прямо-таки просится, чтобы в него подставили а=3. Действительно подходит!
Однако, это еще всё: нужно убедиться, что других вариантов нет. Да, Вы знаете, к чему я веду: к любимому делению многочленов уголком:
Здесь мы применяем искусственное ограничение - вещественность параметра а. На этом задача заканчивается. Как Вам такой способ решения? Спасибо за внимание!
- Если Вам понравился данный материал, поддержите его лайком, а канал - подпиской.