На днях мне написал один из подписчиков. Его сын учится в третьем классе и ходит на математический кружок, где они решают разные математические и логические задачи. По одной из задач "на обратный ход" возник спор. Третьеклассник решил, но преподаватель говорит, что решение неправильное, а правильное то, как показывает он (и в интернете тоже так говорят). Давайте посмотрим, кто прав.
Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько фантиков, сколько у них стало. А потом Толя дал Ване и Пете столько фантиков, сколько у них имелось к этому моменту. В результате всем досталось поровну. Вопрос — сколько фантиков было у Пети изначально?
Как бы вы решили эту задачу?
Как бы задачу решил я
Я не знаю, как именно рассуждал преподаватель математических курсов, но, судя по тому, что ответ у него получился такой же, как у меня, рассуждал он примерно так же.
В конце после дележа у каждого из мальчиков было одинаковое количество фантиков 120:3=40 (столбец с номером 3 в табличке ниже).
Теперь смотрим на последнее условие (третий дележ): "Толя дал Ване и Пете столько фантиков, сколько у них имелось к этому моменту". То есть после того, как Толя поделился фантиками, у Вани и Пети их стало в два раза больше. Раз стало 40, значит, было 20. А остальные у Толи: 120-20-20=80. Исходя из этого, заполняем столбец под номером 2 в таблице ниже.
Условие второго обмена было таким: "Ваня дал Толе и Пете столько фантиков, сколько у них стало". Тут важно не запутаться (!!!). Мы решаем задачу с конца, поэтому пока что никак не учитывали первый обмен, но он был! После первого обмена у Толи и Пети стало сколько-то фантиков. И именно столько им теперь дал Ваня. То есть количество фантиков после Ваниной раздачи у Толи и Пети удвоилось.
Но так как мы решаем задачу с конца, выходит, что нам нужно разделить количество фантиков у Толи и Пети во втором столбце пополам. Таким образом у Толи после первого обмена стало 80:2=40 фантиков, а у Пети — 20:2=10 фантиков. У Ивана же были все остальные: 120-10-40=70 фантиков. Заносим эти данные в таблицу в столбец с номером 1.
Ну и теперь смотрим на самое первое условие: "Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было". Петя по сути удвоил количество фантиков, которые были у мальчиков до этого. Поэтому, чтобы найти, сколько у них было изначально, нам нужно количество фантиков в столбце с номером один (после первого обмена) у Вани и Толи разделить на два. И получается, что у Вани изначально было 70:2=35 фантиков, а у Толи — 40:2=20 фантиков. А у Пети все остальные: 120-20-35=65 фантиков (смотри табличку ниже). То есть мой ответ — 65 фантиков.
Как решал задачу третьеклассник
У третьеклассника же получился другой ответ. У него получилась вот такая табличка.
А вот цитата моего подписчика, который и прислал эту задачу. Она полностью описывает рассуждения его сына.
Легко видеть, что расхождения начинаются при переходе от «состояния 2» к «состоянию 1». Этот переход в задаче описывается фразой «Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало». Мой сын трактовал эту фразу так: «Сначала Ваня дал сколько-то фантиков Толе и Пете, и в результате этого у них столько и стало. Стало у них после этого 80 и 20 соответственно. Значит, все что у них стало, им дал Ваня. В итоге у Вани до этого действия были все фантики, а у Толи и Пети не было ничего». На такие рассуждения его натолкнуло и то, что в других предложениях, описывающих переходы от состояния к состоянию, в задаче использованы другие глаголы «было», «имелось» (а не «стало», как в этом случае).
Хочется сказать, что мальчик сделал ошибку и не так воспринял условие задачи, но постойте ка, давайте сделаем проверку.
Проверка
По мнению третьеклассника, изначально у Вани было 60 фантиков, у Пети тоже 60, а у Толи не было фантиков вообще. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Раз так, то у Вани стало 120 фантиков, а у Толи так и осталось 0, потому что ему ничего не дали. У Пети тоже ничего не осталось.
Затем Ваня дал Толе и Пете столько фантиков, сколько у них стало. И вот он краеугольный камень. Та самая формулировка, которая сбила мальчика с толку.
Так как после первого обмена все фантики у Вани, он мог дать Толе и Пете сколько угодно, мог вообще ничего не дать, условию это не противоречит. Но дай он им не 80 и 20 фантиков соответственно, а какое-то другое количество, задача бы не сошлась.
Однако вариант 80 и 20 удовлетворяет дальнейшим условиям, что потом Толя дал Ване и Пете столько фантиков, сколько у них имелось к этому моменту, и в результате всем досталось поровну. Так что вариант третьеклассника тоже верный, хотелось бы учителю этого или нет.
А всё почему? Потому что условие задачи поставлено некорректно. Раз один понял так, а другой едак, значит, косяк в задаче! Можно было бы записать коварную фразу ("затем Ваня дал Толе и Пете столько фантиков, сколько у них стало") чуть иначе, например так: "затем Ваня дал Толе и Пете столько фантиков, сколько у них стало после первого обмена" или так: "Затем Ваня дал Толе и Пете столько фантиков, сколько у них было на данный момент" и тогда бы никаких двусмыслиц не было, но увы и ах.
Составители задач тоже могут ошибаться, а детский пытливый ум иногда подмечает и интерпретирует фразы так, как не приходит в голову взрослым.
Теперь мне интересно узнать, на чьей стороне вы: на стороне учителя или на стороне третьеклассника? Проголосуйте.
Как вам задача? И вот ещё несколько интересных историй, которые демонстрируют то, что правильных ответов и решений может быть много: