О, это интересная история. Сейчас расскажу подробнее.
На самом деле, цуциком (*cucьkъ) славяне обычно называли собак (особенно небольших). От звукоподражательного междометия подзывания цу-цу-цу.
Почему что считалось, что именно маленькие собачки мерзнут зимой более всего. Сейчас мы б сказали - замерз, как щенок.
Кстати, славяне знали еще и слово "пес" (pies). А вот слово собака - довольно позднее явление в нашем языке, имеется среди славянских только в русском и его диалектах (белорусском, малороссийском). Куда попало в XII-XIII вв из иранских наречий.
Слово цуцик для разговорного обозначения собачки осталось в малороссийском диалекте (цуценя - щенок), в болгарском и македонском языках (цуца), в сербохорватском (цуце), польском (цуцек), чешском (тцута). А также имеется в литовском - "чючюс". Правда, литовцы возможно сами это слово изобрели, а вовсе не у нас стянули.
По одной из версий, замерз словно цуцик - это буквальный перевод немецкой фразы gefroren wie ein Welpe - замерз, будто щенок. И в русский язык сей фразеологизм попал в XVIII-м столетии, когда Екатерина II пригласила на Русь немало немецких колонистов. Безбожно замерзавших в наших холодных степях. :)
Словечко цуцик, кстати, было в старинной русской речи крайне популярно. Цуциком могли назвать неопытного в любом деле новичка (что ты за цуцик такой в работе!). А также именовали вообще любого простоватого типа - которого легко, было "словно цуцика вокруг пальца обвести". Крепко задремавший человек у нас спал как цуцик.
Цуциками поныне зовут у нас и мелкую рыбешку, бычков. Чем-то напоминающих крошечных щенков.