Вариаций обоих вопросов несколько, как ни странно.
Do you have a (pet) cat? - на такой вопрос отвечают Yes, I do или No, I don’t.
Have you got a (pet) cat? - тут ожидаемые ответы Yes, I have или No, I haven’t.
В разговоре, особенно дети, а также взрослые в разговоре с детьми, котов и кошек часто называют «кисами», используют слово kitty вместо cat.
Если спросить надо у маленькой девочки, как зовут ее кошку, то вопрос можно сформулировать, например, так
What’s your kitty’s name?
Или так
What’s your kitty сalled?
Если же это не кошечка-лапочка, а громадный котяра, то тогда более уместно cat вместо kitty в вопросах выше, и восприниматься тогда вопрос будет как «И как твоего кошака зовут»?
А ещё кошаков иногда называют Puss (без y в конце). Это отсыл к названию сказки «Кот в сапогах». По-английски это Puss-in-Boots. Только это обязательно должен быть пушистый кот и довольно упитанный, так как пуш- и puss- этимологически дальние родственники.