Мы часто встречаемся с задачами, которые звучат по разному, выглядят по разному, но решаются одинаково. Настолько одинаково, что иногда складывается впечатление, что математические задачи делятся на некие типовые: "на пропорции", "на проценты", "на скорости". А потом где-нибудь на уроках физики появляются задачи "на давление", "на сопротивления", в химии — "на концентрации". Разбиение задач на хорошо знакомые классы неплохо работает, но провоцирует разработку и внедрение формальных алгоритмов (табличных, графических, мнемонических) в которых человеку уделяется роль машины, которая должна распознать класс задачи и выбрать из некоторой базы знаний подходящий алгоритм.
Для меня признаком такого подхода являются фразы учеников: "нас так учили", "нас не так учили", "так делать правильно/неправильно", "а как это решается?". Мне больше нравится дополнять важные "как-вопросы" не менее важными "что-вопросами": что мы знаем? что мы ищем? что такое ..? что это значит? что объединяет понятия, данные в задаче?
Поэтому я предлагаю поговорить о том, что лежит "внутри" задач о бассейнах или рабочих, и внутри огромного числа других задач — о пропорциональной зависимости:
A = B × C.
Здесь величина A пропорциональна как величине B, так и C. Мы не ведём речь о зависимой и независимой величинах, они все могут меняться, оставаясь связанными этой достаточно простой зависимостью. Примеров таких величин и в школе и в жизни полным полно:
Путь = Скорость × Время;
Длина канавы = Время × Производительность рабочего;
Количество дырок = Доля дырок в объёме сыра × Количество сыра;
Объём воды в бассейне = Расход воды в трубе × Время;
Стоимость = Цена × Количество;
Площадь прямоугольника = Ширина × Длина;
Длина одного катета = Длина другого катета × Наклон гипотенузы;
Длина дуги = Радиус × Угол в радианах;
Масса = Плотность × Объём;
Число благоприятных исходов = Вероятность × Общее число исходов;
Масса компонента = Концентрация × Масса смеси;
Объём цилиндра = Площадь основания × Высота;
Количество теплоты = Теплоёмкость × Масса тела;
Напряжение = Сила тока × Сопротивление;
Число машин = Поток машин × Время;
Сила = Давление × Площадь;
Иногда одна из величин играет роль скорости (производительность, поток, ускорение и т.п.), а иногда — удельной величины (плотность, давление, концентрация, цена ...), а иногда этих ролей нет совсем. Конечно, научиться выделять удельную величину или скорость полезно, но, мне кажется, полезнее как можно раньше научиться узнавать пропорциональную зависимость там, где она появляется, и видеть её целиком.
Есть у этих выражений неприятное свойство — они несимметричны: если выполняется равенство A = B × C, то два альтернативных варианта (B = A × C и C = A × B) неверны. Значит, вспоминая, а ещё лучше, придумывая правильную "формулу" нужно немного посоображать. Мне, например, ещё со школы помогало рассуждение о том, кто с кем вместе растёт:
чтобы дальше проехать нужно увеличить скорость, или дольше ехать;
чем больше времени или чем круче рабочий, тем длиннее канава;
чтобы преодолеть большое сопротивление нужно большое напряжение;
больше сыра — больше дырок...
и так далее. Поиграйте с этими величинами, обсуждая их не на уроке в школе, а на прогулке! Поищите вокруг себя пропорционально связанные величины. Это, во-первых, может быть достаточно весело, а во-вторых, даёт очень полезную интуицию, даже для взрослых.
Имея пропорциональную зависимость, можно выражать любую величину через две другие:
B = A / C, C = B / A.
И тут опять легко проверить правильно ли составлена дробь, мысленно "крутя ручки", то есть, увеличивая какую-нибудь величину справа и глядя на то как меняется величина слева. При этом мы уже можем говорить об обратной пропорциональности, ещё одном важном отношении, которое часто встречается в нашей жизни, а также о смысле дробей.
Задачи бывают разные, но если мы поняли, что имеем дело с пропорциональной зависимостью, то половина дела сделана. Дальше надо посмотреть что нам известно, может быть, какие-то величины являются общими, какие-то постоянными а какие-то складываются друг с другом. Нет универсального способа решать все подряд задачи, но у нас есть универсальный мозг и он может соображать, если понимает с чем имеет дело.
Посмотрим для прмера на такую задачку:
Аня Иванова, откладывая с заработка, может накопить на новую машину мечты за два года, Петя Иванов — на две такие же машины за три года. Если они объединят свои копилки, то за какое время они смогут купить автомобиль? А сколько машин они смогут вместе купить через пять лет? Что изменится, если к ним присоединится дальний родственник Валера, который способен продуть машину за год?
Речь здесь идёт о времени, о деньгах и о скорости накоплений:
Деньги = Скорость накопления × Время
Чем больше откладываем или чем дольше копим, тем больше денег в результате получим, всё верно.
Если Аня и Петя сложат свои усилия, то скорости их накоплений тоже будут складываться. Значит, надо найти скорости и сложить. В условии задачи количество денег измеряется в машинах у Ани: 1 машина за 2 года = 1/2 машин в год, у Пети 2 машины за 3 года = 2/3 машин в год. Складывая эти скорости получаем: 1/2 + 2/3 = 7/6, то есть семь машин за шесть лет. Ну, а дальше легко: одну машину можно будет купить через 6/7 года (10 с половиной месяцев), а за пять лет средств скопится на 7/6×5 = 35/6 = 5 5/6, то есть, пять целых машин и ещё пять шестых. При наличии Валеры суммарная скорость будет такой: 1/2 + 2/3 – 1 = 7/6 – 1 = 1/6, значит, эта дружная компания одолеет одну машину за шесть лет.
Здесь все промежуточные результаты вполне понятны и ощутимы, и дроби тоже обретают смысл. Если ученику всё ещё непонятно как складывать дроби, то можно обсудить с ним что дробь здесь выражает скорость "появления" машин в копилке и перейти вместе с ним к вопросу: "когда можно будет складывать целые машины?" и таким образом напомнить что означает приведение к общему знаменателю.
Проценты и пропорции, доли и вероятности, распределённые ресурсы и подобие фигур все эти штуки объединяет одно — они описывают отношение пропорциональности. Если научиться видеть не формулы, а отношения, то потом проще будет разобраться с дугами и радианами, с концентрациями в химии и электрическими сопротивлениями в физике.