Рассмотрение орбит спутников с точки зрения модели Медиосо, построенной с применением основных физических величин — длины и скорости (время величина производная), а также грапа (гравитационный параметр).
Существуют два вида орбит — эллиптические и гиперболические. Параболическая орбита это эллиптическая, когда большая полуось стремится к бесконечности.
Примем обозначения:
Большая полуось орбиты (постоянная) — a,
Фокальный радиус орбиты (переменная) — R,
Есть два фокальных радиуса. Один связан с тяготеющим объектом R1, второй со вторым фокусом орбиты R2.
R1+R2=2a
Введём безразмерную переменную
Наблюдаемая компактность орбиты — A.
A=R1 / 2a
Эта же переменная определяется через
условную скорость падения малого тела на тяготеющий объект из бесконечности — Vd
и орбитальную скорость объекта — V.
A=1- V^2 / Vd^2
Наблюдаемая компактность орбиты для круговой орбиты постоянна для всех точек орбиты и равна 0,5. Кинетический потенциал орбитального объекта всегда равен гравитационному потенциалу (кинетическая энергия объекта на круговой орбите равна его потенциальной энергии). Это максимально возможная компактность для реальных орбит. Скорость падения из бесконечности на тяготеющий объект всегда больше орбитальной скорости для одного и того же радиуса.
Для падающего из бесконечности малого объекта, который должен встретиться с тяготеющим объектом можно условно определить компактность его «орбиты» как равную нулю. Траектории с компактностью больше 0,5 нестабильны. Орбитальный объект обязательно упадёт на тяготеющий через конечное число оборотов.
Для эллиптических орбит 0,5 >A > 0.
Для гиперболических орбит 0 > A > -∞.
Квадрат скорости связан с потенциалами объекта.
Vd^2=2Φ (Φ (Phi) — гравитационный потенциал в поле тяготеющего объекта).
V^2= 2K (K — кинетический потенциал орбитального объекта).
Φ=μ / R
Здесь μ это стандартный гравитационный параметр.
Из выражения для компактности орбит несложно получается известное в классической физике соотношение орбитального энергетического баланса записанное в терминах потенциалов:
V^2 /2 - μ /R= -μ /2a
K-Φ=h
Здесь h= -μ /2a это энергетический коэффициент имеющий смысл разности кинетического и гравитационного потенциала для орбитального объекта. Для любой конкретной орбиты это постоянная величина для всех её точек.
Зная перигей или апогей спутника, а также большую полуось орбиты можно определить её эксцентриситет — ε.
Ra=a(1+ε)
Rp=a(1-ε)
Тогда можно записать:
Rp/Ra=(1-ε)/(1+ε)
Vp^2 / Va^2={1/(1-ε) - 1/2} / {1/(1+ε) - 1/2}
Эти соотношения позволяют решить задачу о нахождении скорости и радиуса в апогее по аналогичным величинам в перигее.
Период обращения, как производная величина, определяется по известной формуле
T^2=4 π^2 a^3 / μ
При рассмотрении орбит спутников оказываются полезными безразмерные величины компактности орбит и их эксцентриситетов наряду с размерными величинами скорости и длины. Для орбиты и её конкретной точки полезными оказываются параметры — большая полуось, фокальный радиус, орбитальная скорость, скорость падения условного малого тела из бесконечности для рассматриваемой точки. Также важен грап тяготеющего объекта.
В статье не показаны размерности величин, поскольку и в обычной СИ все соотношения действительны. Новое в этой статье это величина — компактность орбиты. Она позволила простым путём без интегралов и дифференциалов получить формулу энергетического баланса для спутника в терминах потенциалов.
Вывод есть и в https://keldysh.ru/kur/move.pdf формула 40, но сравните сложность вывода здесь и там.