Из предыдущих принципов легко вывести демонстрацию той теоремы доктрины вероятностей, которая является основой ее применения к исследованиям для установления факта наступления данного события или реальности отдельного факта. Признаки или доказательства, с помощью которых обычно доказывается факт, являются некоторыми из его следствий, и расследование зависит от определения того, какая причина, скорее всего, вызвала данный эффект. Теорема, применимая к таким исследованиям, является Шестым принципом в эссе Лапласа "Философия вероятностей"., который описывается им как "фундаментальный принцип той ветви Анализа шансов, которая заключается в восхождении от событий к их причинам"[22].
Данный эффект должен быть учтен, и есть несколько причин, которые могут вызвать это, но наличие которых в конкретном случае ничего не известно; вероятность того, что действие было произведено по одной из этих причин является как априорной вероятности причиной, умноженная на вероятность того, что причиной, если бы она существовала, могли бы породить данное следствие.
Пусть M-следствие, а A, B-две причины, по любой из которых оно могло быть вызвано. Чтобы найти вероятность того, что это было произведено одним, а не другим, выясните, какая из двух вероятностей, скорее всего, существовала, и какая из них, если бы она существовала, с наибольшей вероятностью произвела эффект M: искомая вероятность представляет собой соединение этих двух вероятностей.
Случай I. Пусть обе причины одинаковы во втором отношении; либо A, либо B, когда они существуют, предполагается, что с одинаковой вероятностью (или с одинаковой уверенностью) производят M; но пусть A само по себе в два раза вероятнее, чем B, тоесть в два раза чаще, чем явление. Тогда в этом случае вероятность того, что она существовала в два раза больше и была причиной, породившей М.
Ибо, поскольку А существует в природе в два раза чаще, чем В; в любых 300 случаях, когда тот или иной существовал, А существовал 200 раз, а В 100. Но либо A, либо B должны были существовать везде, где производится M: следовательно, в 300 раз, когда производится M, A был причиной производства 200 раз, B только 100, то есть в соотношении 2 к 1. Таким образом, если причины одинаковы в своей способности производить следствие, вероятность того, что на самом деле его произвело, находится в соотношении их предшествующих вероятностей.
Случай II. Обращая последняя гипотеза, предположим, что вызывает одинаково часто, в равной степени вероятно, были, но не менее вероятно, если они действительно существуют, для производства М: что в три раза что происходит, он производит этот эффект в два раза, а б, в три раза, производят его только один раз. Поскольку эти две причины одинаково часто встречаются; в каждых шести случаях, когда существует либо одна, либо другая, А существует три раза и В три раза. A, из его трех раз, производит M в двух; B, из его трех раз, производит M в одном. Таким образом, за все шесть раз M получается только трижды; но из этого трижды оно дважды вызывается А, один раз только Б. Следовательно, когда предшествующие вероятности причин равны, шансы на то, что следствие было вызвано ими, находятся в соотношении вероятностей того, что, если бы они существовали, они произвели бы эффект.
Случай III. Третий случай, в котором причины не похожи в обоих отношениях, решается тем, что предшествовало. Ибо, когда величина зависит от двух других величин таким образом, что, хотя одна из них остается постоянной, она пропорциональна другой, она обязательно должна быть пропорциональна произведению двух величин, причем произведение является единственной функцией двух, которая подчиняется этому закону изменения. Следовательно, вероятность того, что M было вызвано любой из причин, равна предшествующей вероятности причины, умноженной на вероятность того, что, если бы она существовала, она вызвала бы M. Что и предстояло продемонстрировать.
[Стр. 74]
Или мы можем доказать третий случай, как мы доказали первый и второй. Пусть A встречается в два раза чаще, чем B; и пусть они также имеют неодинаковую вероятность, когда они существуют, производить M: пусть A производит его дважды в четыре раза, B трижды в четыре раза. Предшествующая вероятность A равна вероятности B как 2 к 1; вероятности их возникновения M равны 2 к 3; произведение этих соотношений равно соотношению 4 к 3: и это будет отношение вероятностей того, что A или B были причиной возникновения в данном случае. Ибо, поскольку А встречается в два раза чаще, чем В, из двенадцати случаев, в которых существует то или иное, А существует в 8, а В в 4. Но из его восьми случаев A, по предположению, производит M только в 4, в то время как B из его четырех случаев производит M в 3. Следовательно, M вообще производится только в семи из двенадцати случаев; но в четырех из них он производится A, в трех-B; следовательно, вероятности его производства A и B равны 4 к 3 и выражаются дробями 4/7 и 3/7. Что и предстояло продемонстрировать.