В дополнение к вопросу, каково количество совпадений, которые, в среднем из огромного множества испытаний, можно ожидать, возникнут только по воле случая? существует также другой вопрос, а именно, в какой степени отклонение от этого среднего является вероятным, исходя только из случайности, в некоторых [Стр. 60]количество случаев меньше, чем требуется для достижения справедливого среднего значения? Следует учитывать не только общий результат шансов в долгосрочной перспективе, но и крайние пределы отклонения от общего результата, которые иногда можно ожидать в результате некоторого меньшего числа случаев.
Рассмотрение последнего вопроса и любое рассмотрение первого, помимо уже данного ему, относятся к тому, что математики называют доктриной шансов или, выражаясь более претенциозно, Теорией вероятностей.
[Стр. 61]
ГЛАВА XVIII.
О РАСЧЕТЕ ШАНСОВ.
§ 1. "Вероятность, - говорит Лаплас[17], - относится отчасти к нашему невежеству, отчасти к нашим знаниям. Мы знаем, что среди трех или более событий должно произойти одно и только одно; но ничто не заставляет нас полагать, что какое-либо из них произойдет скорее, чем другие. В этом состоянии нерешительности мы не можем с уверенностью сказать об их возникновении. Однако вполне вероятно, что какое-либо из этих событий, выбранных по желанию, не произойдет, потому что мы видим несколько одинаково возможных случаев, которые исключают его возникновение, и только один, который благоприятствует ему.
"Теория шансов состоит в сведении всех событий одного и того же рода к определенному числу случаев, одинаково возможных, то есть таких, в которых мы одинаково не уверены в их существовании; и в определении числа этих случаев, благоприятных для события, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой вероятности; которая, таким образом, представляет собой дробь, числителем которой является число случаев, благоприятствующих событию, а знаменателем-число всех возможных случаев".
Таким образом, для расчета шансов, согласно Лапласу, необходимы две вещи: мы должны знать, что из нескольких событий обязательно произойдет какое-то одно, и не более одного; и мы не должны знать и не иметь никаких оснований ожидать, что это будет одно из этих событий, а не другое. Утверждалось, что это не единственные необходимые условия и что Лаплас упустил из виду в общетеоретическом утверждении необходимую часть основы учения о шансах. [Стр. 62]Чтобы иметь возможность (как было сказано) объявить два события одинаково вероятными, недостаточно знать, что должно произойти то или иное, и не должно быть оснований для предположения, какое именно. Опыт, должно быть, показал, что эти два события происходят одинаково часто. Почему, подбрасывая полпенни, мы считаем одинаково вероятным, что мы бросим крест или стопку? Потому что мы знаем, что при любом большом количестве бросков крест и стопка бросаются примерно одинаково часто; и что чем больше бросков мы делаем, тем ближе к совершенству равенство. Мы можем узнать это, если пожелаем, из фактического эксперимента; или из повседневного опыта, который дает жизнь событиям одного и того же общего характера; или дедуктивно, из воздействия механических законов на симметричное тело, на которое действуют силы, бесконечно изменяющиеся по количеству и направлению. Короче говоря, мы можем знать это либо по конкретному опыту, либо на основании наших общих знаний о природе. Но, так или иначе, мы должны это знать, чтобы оправдать то, что мы называем два события одинаково вероятными; и если бы мы этого не знали, то действовали бы так же бессистемно, ставя равные суммы на результат, как и при расчете шансов.
Этот взгляд на предмет был принят в первом издании настоящей работы, но с тех пор я убедился, что теория шансов, как она понимается Лапласом и математиками в целом, не имеет фундаментальной ошибки, которую я ей приписывал.