В английском языке есть два слова со значением "скорость": speed и velocity. Второе означает векторную скорость, а первое — скалярную, то есть величину вектора скорости. Часто именно она и нужна: превысить можно скорость по величине (векторы вообще не сравниваются); гонщик, наматывающий круги, проезжает вполне ненулевой интеграл от скалярной скорости, хотя векторно он прибыл туда, откуда начинал; кинетическая энергия выражается через квадрат скорости (а он от направления вектора не зависит).
В теории относительности есть постулат о постоянстве скорости света, так вот имеется в виду скалярная, speed. Если речь идет об одномерных задачах, этот нюанс нивелируется, но если направлений больше одного, то это важно. Вектор скорости света в любой системе отсчета имеет длину с, но направление этого вектора может быть разным и оно зависит от относительного движения.
Давайте еще раз проследим, как выводится замедление времени из этого постулата и еще одного: об относительности. Этот постулат гласит, что пространственно-временные совпадения (грубо говоря, два события произошли в одной точке пространства и одновременно) являются таковыми в любой системе отсчета.
Берем фотонные часы: два зеркальца, между которыми мечется фотон (или отрезок света). Он попадает в центр зеркальца, отражается, попадает в центр другого, отражается, и так далее. Эти события — попадания в центр — в любой системе отсчета такие, поэтому с ними согласен и пассажир едущего автобуса, и наблюдатель со стороны. Фотон скачет вверх-вниз, а автобус едет прямо.
Хорошо, но зеркало едет вместе с автобусом; стало быть, фотон (или отрезок света) движется не только вверх, но и вперед, чтобы попасть в центр. Как бы едет вместе с автобусом. Именно так.
Да, именно так! ВЕКТОРНАЯ скорость света зависит от относительного движения, но только по направлению — по величине всегда c. Если кто-то вам сказал, что скорость света не зависит от движения источника, то это вас кто-то обманул. Если вы сами себя обманули, то всё поправимо.
Но тогда, раз скорость света по величине с, то компонента "вверх" меньше. Верно ведь? Как если вы уклонились от прямого пути в сторону, вы приближаетесь к пункту назначения медленнее, хотя скорость ваша по величине не изменилась.
А раз скорость вверх-вниз меньше, то фотонные часы начнут отставать — с точки зрения неподвижного наблюдателя!
Теперь наполним автобус часами какой угодно конструкции. Атомными, с кукушкой, брегетами, водяными клепсидрами, солнечным, кварцевыми, песочными... Все часы, если они исправны и могут работать в данных условиях, показывают одно и то же время. Это в любой системе отсчета так. Если это видит пассажир автобуса, то это видит и наблюдатель извне: все часы показывают одно и то же тоже.
Но это разное "одно и то же" для разных наблюдателей! Один видит один и тот же полдень на всех часах, другой отчетливо видит, что все часы показывают 11:00.
Ведь раз фотонные часы отстают, то и все часы отстают, независимо от конструкции. Поэтому можно говорить о замедлении времени вообще, потому что время — это то, что отмеряет согласованный ансамбль часов любой конструкции.
Хорошо. Если продолжать рассуждение, можно вывести формулу сложения скоростей. Она позволяет выразить в системе отсчета А вектор скорости v (чего-то) относительно системы отсчета В, которая сама движется со скоростью u относительно системы А.
Формула эта такая:
Словами: надо к вектору u прибавить параллельную к нему компоненту вектора v и затем перпендикулярную компоненту, умножив ее на множитель лоренца γ²=1-u². Вектор-результат поделим на число, полученное прибавлением единицы к скалярному произведению векторов. Скорости выражены в долях скорости света; если нужна формула в общем виде, допишите к каждой скорости /c.
Если векторы лежат на одной прямой, то перпендикулярная компонента исчезает и получается обычная формула сложения скоростей из учебников по теории относительности.
Если векторы перпендикулярны, то параллельная компонента равна нулю, нулю равно и скалярное произведение. В итоге формула упрощается. Еще упростить ее можно, если направить оси координат вдоль соответствующих векторов. Пусть вектор u=(u,0), v=(0,v). Тогда релятивистская сумма скоростей есть вектор (u, γ(u)v).
Что мы видим? Мы видим, что компонента скорости вдоль пути автобуса равна скорости автобуса: так и должно быть. Скорость же в перпендикулярном направлении уменьшается, так как γ<1.
В частности, если v=1, то есть мы говорим о свете, то скорость света в направлении вверх-вниз меньше, причем в точности в нужное число раз. Это и есть замедление часов. Но принцип постоянства скорости света не нарушен, потому что появилась первая компонента скорости, в сторону движения автобуса.
Кстати, если автобус едет со скоростью света, то γ(1)=0, и скорость в перпендикулярном направлении вообще равна нулю. Время остановится.
Да, формула некоммутативна и результат зависит от порядка слагаемых.
Это совершенно нормально, потому что обычные трехмерные повороты тоже описываются вектором угловой скорости, и выполнение двух поворотов равносильно одному повороту — но его вектор не равен сумме векторов отдельных поворотов! И результат зависит от порядка, то есть вектор сложного поворота зависит от порядка "сложения" векторов простых поворотов.
Формула позволяет проследить механизм замедления других типов часов. Так, пусть часы фотонные, но свет скачет не в вакууме, а в воздухе, воде, стекле. Скорость его там ниже. Хорошо, берите формулу и считайте. Да и без счета видно, что замедление — та самая γ — зависит от скорости автобуса, и только. Часы замедлятся в точности так, как вакуумно-фотонные. Что изначально было ясно, но теперь мы понимаем, почему.
В общем-то, теперь про основополагающий принцип можно забыть, чтобы не смущал. Есть формула, которая работает всегда. Хотите посмотреть, как движется сигнал с точки зрения другого наблюдателя, системы отсчета, в других координатах? Вот формула! Она годится для любых случаев.
Например, в случае продольных фотонных часов, вакуумных или нет, у нас различаются результаты при пролете вперед по ходу и назад: просто потому, что знаменатель формулы разный. В первом случае внизу 1+uv, во втором 1-uv. Отсюда получается сокращение длины в продольном направлении, что мы уже обсуждали.
Поиграйте с этой формулой, и убедитесь, что векторная скорость света по величине всегда единица, как не крути. Для школьника это, кстати, может быть неплохой самостоятельной работой...