Но хотя доктор Уэвелл не поколебал доктрину Стюарта относительно гипотетического характера той части первых принципов геометрии, которые включены в так называемые определения, я полагаю, что он имеет большое преимущество перед Стюартом в другом важном пункте теории геометрических рассуждений; необходимость признания среди этих первых принципов аксиом, а также определений. Некоторые из аксиом Евклида, без сомнения, могут быть представлены в форме определений или могут быть выведены путем рассуждений из предложений, подобных так называемым. Таким образом, если вместо аксиомы величины, которые можно заставить совпадать, равны, мы вводим определение: “Равные величины-это те, которые могут быть применены друг к другу таким образом, чтобы совпадать”; три следующие аксиомы (Величины, равные одной и той же, равны друг другу—Если равные суммируются равными, суммы равны—Если равные взяты из равных, остатки равны) могут быть доказаны воображаемой суперпозицией, аналогичной той, с помощью которой демонстрируется четвертое положение первой книги Евклида. Но хотя эти и некоторые другие могут быть вычеркнуты из списка основных принципов, потому что, хотя они и не требуют демонстрации, они восприимчивы к этому; там можно будет найти в списке аксиом, два или три фундаментальные истины, не может быть продемонстрировали: среди которых нельзя не считаться утверждение, что две прямые линии не могут надеть пространство (или его эквивалент, прямые линии, которые совпадают в двух точках совпадают в целом) и некоторые свойства параллельных прямых, кроме того, что составляет их определение: наиболее подходящие, пожалуй, в том, что некоторые профессора Плейфер: “Две прямые, которые пересекаются друг с другом, не могут оба быть параллельна третьей прямой.”38
[стр. 257]
Аксиомы, а также те, которые являются недоказуемыми, как и те, которые допускают демонстрацию, отличаются от того другого класса фундаментальных принципов, которые включены в определения, тем, что они верны без какой-либо смеси гипотез. То, что вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу, так же верно для линий и фигур в природе, как и для воображаемых, предполагаемых в определениях. В этом отношении, однако, математика находится лишь в одном ряду с большинством других наук. Почти во всех науках существуют некоторые общие положения, которые в точности верны, в то время как большая часть является лишь более или менее отдаленным приближением к истине. Таким образом, в механике первый закон движения (продолжение движения, однажды совершенного, до тех пор, пока его не остановит или не ослабит какая-либо сопротивляющаяся сила) верен без оговорок или ошибок. Вращение земли за двадцать четыре часа, такой же длины, как и в наше время, продолжалось с момента первых точных наблюдений, без увеличения или уменьшения на одну секунду за весь этот период. Это индукции, которые не требуют вымысла, чтобы их воспринимали как точно истинные: но наряду с ними есть и другие, как, например, положения, касающиеся фигуры земли, которые являются лишь приближениями к истине; и для того, чтобы использовать их для дальнейшего развития наших знаний, мы должны притворяться, что они в точности верны, хотя на самом деле они хотят, чтобы что-то было так.
§ 4. Остается выяснить, на чем основана наша вера в аксиомы—каковы доказательства, на которых они основаны? Я отвечаю, что это экспериментальные истины; обобщения из наблюдений [стр. 258]. Утверждение, что две прямые линии не могут охватывать пространство—или, другими словами, Две прямые линии, которые однажды встретились, больше не встречаются, но продолжают расходиться,—является индукцией из свидетельств наших органов чувств.
Это мнение противоречит давнему и сильному научному предубеждению, и, вероятно, в этой работе нет ни одного предложения, для которого можно было бы ожидать более неблагоприятного приема. Однако это не новое мнение; и даже если бы это было так, о нем можно было бы судить не по его новизне, а по силе аргументов, которыми оно может быть подкреплено. Я считаю очень удачным, что такой выдающийся сторонник противоположного мнения, как доктор Уэвелл недавно нашел повод для самой тщательной обработки всей теории аксиом, пытаясь построить философию математических и физических наук на основе доктрины, против которой я сейчас выступаю. Тот, кто стремится к тому, чтобы дискуссия дошла до сути предмета, должен радоваться, что достойно представлена противоположная сторона вопроса. Если то, что говорит доктор Уэвелл, в поддержку мнения, которое он положил в основу систематической работы, можно показать, что оно не является окончательным, было сделано достаточно, чтобы не идти дальше в поисках более сильных аргументов и более сильного противника.
Не надо, чтобы показать, что истины, которые мы называем аксиомами изначально предложил наблюдения, и что мы никогда не должны были знать, что две прямые линии не могут обложили бы места, если мы никогда не видели прямой: так много, как признался доктор Уэвеллом, и все, в последнее время, которые приняли его вид на предмет. Но они утверждают, что не опыт доказывает аксиому, а то, что ее истинность воспринимается априори, самим строением ума, с первого момента, когда постигается значение предложения; и без какой-либо необходимости проверять его повторными испытаниями, как это требуется в случае истин, действительно установленных наблюдением.