На эти аргументы, которые, я надеюсь, меня нельзя обвинить в преуменьшении, я полагаю, будет найден удовлетворительный ответ, если мы обратимся к одному из характерных свойств геометрических форм—их способности быть нарисованными в воображении с отчетливостью, равной реальности: другими словами, точное сходство наших представлений о форме с ощущениями, которые их предполагают. Это, во-первых, позволяет нам создавать (по крайней мере, с небольшой практикой) мысленные изображения всех возможных комбинаций линий и углов, которые так же хорошо напоминают реальность, как и все, что мы могли бы сделать на бумаге; и, во-вторых, делает эти изображения такими же подходящими объектами геометрических экспериментов, как и сами реальности.; поскольку изображения, если они достаточно точны, демонстрируют, конечно, все свойства, которые были бы проявлены реальностями в один данный момент и при простом рассмотрении: и в геометрии нас интересуют только такие свойства, а не то, чего не могли бы показать изображения, взаимное действие тел друг на друга. Таким образом, основы геометрии были бы заложены в непосредственном опыте, даже если бы эксперименты (которые в данном случае состоят просто в внимательном созерцании) проводились исключительно на том, что мы называем нашими идеями, то есть на диаграммах в нашем сознании, а не на внешних объектах. Ибо во всех системах экспериментов мы берем некоторые объекты в качестве представителей всего, что на них похоже; и в данном случае условия, которые квалифицируют реальный объект как представителя своего класса, полностью выполняются объектом, существующим только в нашем воображении. Поэтому, не отрицая возможности убедиться в том, что две прямые линии не могут охватывать пространство, просто думая о прямых линиях, фактически не глядя на них; я утверждаю, что мы верим в эту истину не просто на основании воображаемой интуиции, а потому, что мы знаем, что воображаемые линии в точности похожи на реальные и что мы можем сделать вывод из них к реальным с такой же уверенностью, с какой мы могли бы сделать вывод из одной реальной линии к другой. Следовательно, вывод все еще является индукцией из наблюдения. И мы не должны быть уполномочены заменять [стр. 262]наблюдение за изображением на наш взгляд, для наблюдения за реальность, если бы мы не узнали, длительный опыт работы, что свойства реальности добросовестно представленных на изображении; точно так же мы должны быть научно оправдано при описании животного, которое никогда не видел, с картинки из его дагерротип; но пока мы не освоили богатый опыт работы, что наблюдения такой картины в точности эквивалентно наблюдению оригинала.
Эти соображения также снимают возражение, возникающее из-за невозможности визуально следовать линиям в их продолжении до бесконечности, ибо, хотя для того, чтобы действительно увидеть, что две данные линии никогда не пересекаются, необходимо было бы следовать за ними до бесконечности; однако, не делая этого, мы можем знать, что если они когда-либо встретятся или если, разойдясь друг от друга, они снова начнут приближаться, это должно происходить не на бесконечном, а на конечном расстоянии. Предположим, следовательно, что это так, мы можем перенестись туда в воображении и можем создать мысленный образ внешнего вида, который одна или обе линии должны представлять в этой точке, на который мы можем полагаться как на точно подобный реальности. Теперь, сможем ли мы восстановить наши размышления на эту воображаемую картину, или позвонить, чтобы ум обобщения, мы имели возможность сделать из бывшей глазной наблюдения, мы узнаем, что на свидетельство опыта, что линия, которая после отхода от другой прямой линии, начинает приближаться к нему, производит впечатление на наши чувства, которые мы опишем выражением, “кривой линии,” не по выражению, в“прямой линии”.40
[стр. 263]
§ 6. Первый из двух аргументов в поддержку теории о том, что аксиомы являются априорными истинами, на мой взгляд, получил достаточный ответ; я перехожу ко второму, на который обычно больше всего полагаются. Аксиомы (утверждается) воспринимаются нами не только как истинные, но как универсально и обязательно истинные. Итак, опыт никак не может придать ни одному предложению такого характера. Возможно, я видел снег сто раз и, возможно, видел, что он был белым, но это не может дать мне полной уверенности даже в том, что весь снег белый; тем более, что снег должен быть белым. “Сколько бы примеров истинности предложения мы ни наблюдали, ничто не гарантирует нам, что следующий случай не будет исключением из правила. Если строго верно, что у каждого известного до сих пор жвачного животного раздвоенные копыта, мы все равно не можем быть уверены, что впоследствии не будет обнаружено какое-либо существо, обладающее первым из этих признаков, без [стр. 264]иметь другую.... Опыт всегда должен состоять из ограниченного числа наблюдений; и, какими бы многочисленными они ни были, они ничего не могут показать в отношении бесконечного числа случаев, в которых эксперимент не проводился”. Кроме того, аксиомы не только универсальны, они также необходимы. Теперь “опыт не может предложить ни малейшего основания для необходимости предложения. Она может наблюдать и записывать то, что произошло; но она ни в коем случае или в любом скоплении случаев не может найти никакой причины для того, что должно случаться. Она может видеть объекты рядом, но она не может понять причину, по которой они когда-либо должны быть рядом. Она находит, что определенные события происходят последовательно; но последовательность в своем возникновении не дает оснований для ее повторения. Она созерцает внешние объекты, но не может обнаружить никакой внутренней связи, которая неразрывно связывает будущее с прошлым, возможное с реальным. Изучать суждение на опыте и видеть, что оно обязательно истинно, - это два совершенно разных процесса мышления”41. И д-р Уэвелл добавляет:, “Если кто-либо не осознает ясно это различие между необходимыми и случайными истинами, он не сможет присоединиться к нам в наших исследованиях основ человеческого знания; более того, он не сможет с успехом проводить какие-либо размышления на эту тему”42.
В следующем отрывке нам рассказывается, в чем заключается различие, непризнание которого влечет за собой это осуждение. “Необходимые истины-это те, в которых мы не только узнаем, что предложение истинно, но и видим, что оно должно быть истинно; в котором отрицание истины не только ложно, но и невозможно; в котором мы не можем, даже усилием воображения или в предположении, представить себе обратное тому, что утверждается. В том, что такие истины существуют, нельзя сомневаться. Мы можем взять, например, все отношения числа. Три и Два, сложенные вместе, составляют Пять. Мы не можем представить себе, чтобы это было иначе. Мы не можем, по какой-либо причуде мысли, представить, что Три и Два составляют Семь”43.