В то время как аксиомы демонстративных наук, таким образом, казались экспериментальными истинами, определения, как они есть [стр. 278]неправильно названные в этих науках, мы обнаружили, что они являются обобщениями из опыта, которые даже, строго говоря, не являются истинами; будучи высказываниями, в которых, в то время как мы утверждаем о каком-либо объекте, некотором свойстве или свойствах, которые, как показывает наблюдение, принадлежат ему, мы в то же время отрицаем, что он обладает какими-либо другими свойствами, хотя на самом деле другие свойства в каждом отдельном случае сопровождают и почти во всех случаях изменяют свойство, таким образом, исключительно предикатное. Таким образом, отрицание является простой выдумкой или предположением, сделанным с целью исключить рассмотрение этих изменяющих обстоятельств, когда их влияние слишком незначительно, чтобы его стоило рассматривать, или отложить его, когда это важно, до более удобного момента.
Из этих соображений может показаться, что Дедуктивные или Демонстративные науки все без исключения являются Индуктивными Науками; что их доказательством является опыт; но что они также являются, в силу особого характера одной необходимой части общих формул, в соответствии с которыми делаются их индукции, Гипотетическими науками. Их выводы верны только при определенных предположениях, которые являются или должны быть приближенными к истине, но редко, если вообще когда-либо, являются точными; и этому гипотетическому характеру следует приписать особую определенность, которая, как предполагается, присуща демонстрации.
Однако то, что мы сейчас утверждаем, не может быть воспринято как универсально верное для Дедуктивных или Демонстративных наук, пока не будет подтверждено путем применения к самой замечательной из всех этих наук-науке о числах; теории исчисления; Арифметике и алгебре. В доктрины этой науки труднее поверить, чем в какие-либо другие, либо в то, что они не являются истинами априори, но экспериментальные истины, или что их особая определенность обусловлена тем, что они не являются абсолютными, а только условными истинами. Таким образом, это тот случай, который заслуживает рассмотрения, и тем более, что на эту тему мы имеем двойной набор доктрин, чтобы бороться; что априорно философами с одной стороны, и с другой, в теории самое противное их труд, который был [стр. 279]в одно время в самом общем виде получил, и это еще далеко не совершенно взорвался среди метафизиков.
§ 2. Эта теория пытается решить трудность, очевидно присущую данному случаю, представляя положения науки о числах как просто вербальные, а ее процессы как простые преобразования языка, замены одного выражения другим. Утверждение "Два и один равны трем", по мнению этих авторов, не является истиной, не является утверждением действительно существующего факта, а определением слова "три"; утверждение о том, что человечество согласилось использовать имя " три " в качестве знака, в точности эквивалентного двум и одному; называть прежним именем то, что называется другой, более неуклюжей фразой. Согласно этой доктрине, самый длительный процесс в алгебре-это всего лишь последовательность изменений в терминологии, посредством которых эквивалентные выражения заменяются одно другим; серия переводов одного и того же факта с одного языка на другой; хотя как после такой серии переводов меняется сам факт (например, когда мы демонстрируем новую геометрическую теорему с помощью алгебры), они не объяснили; и это трудность, которая фатальна для их теории.
Следует признать, что в процессах арифметики и алгебры есть особенности, которые делают рассматриваемую теорию очень правдоподобной и неестественно сделали эти науки оплотом номинализма. Учение о том, что мы можем открывать факты, обнаруживать скрытые процессы природы, искусно манипулируя языком, настолько противоречит здравому смыслу, что человек должен был сделать некоторые успехи в философии, чтобы поверить в это; люди прибегают к столь парадоксальной вере, чтобы избежать, как они думают, некоторых еще больших трудностей, которых не видят вульгарные люди. Что привело многих к убеждению, что рассуждение-это просто словесный процесс, так это то, что никакая другая теория не казалась совместимой с природой Науки о числах. Ибо мы не несем с собой никаких идей, когда используем символы арифметики или алгебры. В геометрической демонстрации у нас есть мысленная диаграмма, если не на бумаге; AB, AC, присутствуют в нашем воображении [стр. 280]в виде линий, пересекающих другие линии, образующих угол друг с другом и тому подобное; но не так a и b. Они могут представлять линии или любые другие величины, но об этих величинах никогда не думают; в нашем воображении не реализуется ничего, кроме a и b. Идеи, которые в конкретном случае они представляют, изгоняются из ума во время каждой промежуточной части процесса, между началом, когда предпосылки переводятся из вещей в знаки, и концом, когда вывод переводится обратно из знаков в вещи. Таким образом, поскольку в сознании рассуждающего нет ничего, кроме символов, что может показаться более неприемлемым, чем утверждение, что процесс рассуждения имеет отношение к чему-то большему? Похоже, мы подошли к одному из Исключительных примеров Бэкона-эксперименту crucis о природе самого рассуждения.