Мы можем, если нам угодно, назвать предложение “Три равно двум и одному” определением числа три и утверждать, что арифметика, как и утверждалось, что геометрия, является наукой, основанной на определениях. Но они являются определениями в геометрическом смысле, а не в логическом; они утверждают не только значение термина, но и вместе с ним наблюдаемый факт. Предложение: “Круг-это фигура, ограниченная линией, все точки которой одинаково удалены от точки внутри нее”, это называется определением круга; но положение, из которого вытекает так много следствий и которое на самом деле является первым принципом в геометрии, состоит в том, что фигуры, соответствующие этому описанию, существуют. И поэтому мы можем сказать: “Три - это два и один”. определение трех; но вычисления, которые зависят от этого предложения, вытекают не из самого определения, а из арифметической теоремы, предполагаемой в нем, а именно, что существуют коллекции объектов, которые, хотя и впечатляют чувства таким образом, [Символ: три круга, два над одним], могут быть разделены на две части, таким образом, [Символ: два круга, пространство и третий круг]. Это предложение принимается, мы называем все такие посылки Тройками, после чего изложение вышеупомянутого физического факта также послужит для определения слова "Три".
Наука о числах, таким образом, не является исключением из вывода [стр. 284], к которому мы пришли ранее, что процессы даже дедуктивных наук в целом индуктивны и что их первые принципы являются обобщениями из опыта. Остается выяснить, похожа ли эта наука на геометрию в том дальнейшем обстоятельстве, что некоторые из ее индукций не совсем верны; и что приписываемая ему особая определенность, из-за которой его положения называются Необходимыми Истинами, является фиктивной и гипотетической, будучи истинной ни в каком другом смысле, кроме того, что эти положения обязательно вытекают из гипотезы об истинности посылок, которые, как известно, являются простыми приближениями к истине.
§ 3. Индукции арифметики бывают двух видов: во-первых, те, которые мы только что изложили, такие как Один и один-два, Два и один-три и т. Д., Которые можно назвать определениями различных чисел в неправильном или геометрическом смысле определения слова; и, во-вторых, две следующие аксиомы: Суммы равных равны, различия равных равны. Этих двух достаточно, ибо соответствующие положения, касающиеся неравенств, могут быть доказаны из них путем редукции до абсурда.
Эти аксиомы, а также так называемые определения, являются, как уже было показано, результатами индукции; истинны для всех объектов, независимо от того, и, как может показаться, абсолютно верны, без гипотетического предположения о безусловной истине, где приближение к ней-это все, что существует. Таким образом, выводы, которые, естественно, будут сделаны, в точности верны, и наука о числах является исключением из других демонстративных наук в том, что абсолютная достоверность, которую можно предсказать из ее демонстраций, независима от всех гипотез.
Однако при более точном исследовании будет обнаружено, что даже в этом случае в соотношении присутствует один гипотетический элемент. Во всех предложениях, касающихся чисел, подразумевается условие, без которого ни одно из них не было бы истинным; и это условие является предположением, которое может быть ложным. Условие состоит в том, что 1 = 1; что все числа являются числами одинаковых или равных единиц. Пусть это будет сомнительно, и ни одно из положений арифметики не будет [стр. 285]оставайся верным. Как мы можем знать, что один фунт и один фунт составляют два фунта, если один из фунтов может быть троей, а другой-авоирдупуа? Они могут не составлять и двух фунтов ни того, ни другого, ни любого другого веса. Как мы можем знать, что сила в сорок лошадей всегда равна самой себе, если мы не предполагаем, что все лошади равны по силе? Несомненно, что 1 всегда равно числу к 1; и там, где простое число объектов или частей объекта, не предполагая, что они эквивалентны в каком-либо другом отношении, является всем, что является материальным, выводы арифметики, поскольку они сводятся только к этому, верны без смешения гипотез. Есть несколько таких случаев; как, например, исследование численности населения любой страны. Для этого вопроса безразлично, взрослые это люди или дети, сильные или слабые, высокие или низкие; единственное, что мы хотим выяснить, - это их количество. Но всякий раз, когда из равенства или неравенства чисел следует вывод о равенстве или неравенстве в любом другом отношении, арифметика, включенная в такие исследования, становится такой же гипотетической наукой, как геометрия. Все единицы измерения должны предполагаться равными в этом другом отношении; и это никогда практически не соответствует действительности, поскольку один фактический вес фунта не совсем равен другому, а длина одной мили-другой; более точные весы или более точные измерительные приборы всегда обнаружат некоторую разницу.