Поэтому то, что обычно называют математической достоверностью, которая включает в себя двоякую концепцию безусловной истины и совершенной точности, является атрибутом не всех математических истин, а только тех, которые относятся к чистому Числу, в отличие от Количества в более широком смысле; и только до тех пор, пока мы воздерживаемся от предположения, что числа являются точным показателем действительных величин. Уверенность, обычно приписываемая выводам геометрии и даже выводам механики, есть не что иное, как уверенность в выводе. Мы можем быть полностью уверены в конкретных результатах при определенных предположениях, но у нас не может быть такой же уверенности в том, что эти предположения точно верны или что они включают все данные, которые могут повлиять на результат в любом конкретном случае.
[стр. 286]
§ 4. Таким образом, представляется, что метод всех дедуктивных наук является гипотетическим. Они продолжают, прослеживая последствия определенных предположений; оставляя для отдельного рассмотрения, верны ли эти предположения или нет, и если не совсем верны, являются ли они достаточно близким приближением к истине. Причина очевидна. Поскольку предположения в точности верны только в вопросах чистого числа, и даже там, только до тех пор, пока на них не должны основываться никакие выводы, кроме чисто числовых; во всех других случаях дедуктивного исследования это должно быть частью расследования, чтобы определить, насколько предположения хотят быть точно верными в рассматриваемом случае. Это, как правило, вопрос наблюдения, который следует повторять в каждом новом случае; или, если он должен быть решен с помощью аргументации вместо наблюдения, может потребовать в каждом отдельном случае различных доказательств и представлять любую степень сложности от самой низкой до самой высокой. Но другая часть процесса, а именно определение того, какие еще выводы могут быть сделаны, если мы обнаружим, и в той мере, в какой мы обнаружим, что предположения верны, может быть выполнена раз и навсегда, и результаты будут готовы к использованию по мере возможности. Таким образом, мы заранее делаем все, что можно, и оставляем как можно меньше работы, которую необходимо выполнить, когда возникают дела, и настаиваем на принятии решения. Это исследование выводов, которые могут быть сделаны из предположений, и есть то, что должным образом составляет Демонстративную науку.
Конечно, совершенно так же практически возможно прийти к новым выводам из предполагаемых фактов, как и из наблюдаемых фактов; из вымышленных, как и из реальных, индукций. Дедукция, как мы видели, состоит из ряда умозаключений в такой форме—а является признаком в, в из с, с из d, следовательно, а является признаком d, что последнее может быть истиной, недоступной для непосредственного наблюдения. Подобным же образом допустимо сказать: предположим, что a было бы знаком b, b из cи c из d, a было бы знаком d, о последнем выводе которого не подумали те, кто заложил предпосылки. Система предложений, столь же сложных, как геометрия, может быть выведена из ложных предположений; как это было сделано Птолемеем, Декартом и другими в их попытках синтетически объяснить явления солнечной системы на предположении, что кажущиеся движения небесных тел были реальными движениями или были произведены каким-то образом, более или менее отличным от истинного. Иногда то же самое делается сознательно, с целью показать ложность предположения; это называется редукция до абсурда. В таких случаях аргументация такова: это является знаком Б, А Б О С; теперь, если с Были также знаком д, это будет Марка д; а д , Как известно, знак отсутствии в; следовательно, это было бы знаком его собственного отсутствия, что является противоречием; поэтому с - не знак д'.
§ 5. Некоторые авторы даже придерживались мнения, что всякое рассуждение в конечном счете основывается на редукции до абсурда; поскольку способ заставить согласиться с этим, в случае неясности, состоял бы в том, чтобы показать, что, если вывод отрицается, мы должны отрицать, по крайней мере, одну из посылок, которая, поскольку все они считаются истинными, была бы противоречием. И в соответствии с этим многие думали, что специфическая природа доказательств рассуждения состояла в невозможности принять посылки и отвергнуть заключение без противоречия в терминах. Однако эта теория неприемлема в качестве объяснения оснований, на которых основывается само рассуждение. Если кто-либо отрицает заключение, несмотря на его признание предпосылок, он не вовлечен в какое-либо прямое и явное противоречие до тех пор, пока он не будет вынужден отрицать какую-либо посылку; и его можно заставить сделать это только путем редукции до абсурда, то есть с помощью другого рассуждения: теперь, если он отрицает обоснованность самого процесса рассуждения, его нельзя заставить согласиться со вторым силлогизмом так же, как и с первым. По правде говоря, поэтому никто никогда не принуждается к противоречию в терминах: его можно принудить только к противоречию (или, скорее, к нарушению) фундаментальной максимы рассуждения, а именно, что все, что имеет знак, имеет то, что является знаком; или (в случае универсальных предложений), что все, что является знаком чего-либо, является знаком чего-либо еще, чем является эта вещь. Ибо в случае [стр. 288]всякий правильный аргумент, как только он облекается в силлогистическую форму, становится очевидным без помощи какого-либо другого силлогизма, что тот, кто, признавая предпосылки, не приходит к выводу, не соответствует вышеупомянутой аксиоме.